Cuerpo de cocientes

Una de las propiedades más interesantes de un dominio de integridad es la de que existe "el menor cuerpo que lo contiene". De forma más precisa:

Sea $R$ un dominio íntegro (conmutativo y unitario). Denotamos por $R^*$ al conjunto $R \setminus \{0\}$. Establecemos en el conjunto $R \times R^*$ la relación $\mathcal{R}$ definida por $(a,b) \mathcal{R} (c,d)$ cuando y sólo cuando $a \cdot d = b \cdot c$. Es sencillo comprobar que $\mathcal{R}$ es una relación de equivalencia. Denotaremos por $Q(R)$ al conjunto cociente $\frac{R \times R^*}{\mathcal{R}}$, y por $\frac{a}{b}$ a la clase de equivalencia del elemento $(a,b)$.

Operaciones suma y producto en el cuerpo de cocientes.

Suma

Definimos la aplicación $+: Q(R) \times Q(R) \longrightarrow Q(R)$ de la siguiente manera: $+ (\frac{a}{b},\frac{c}{d}) := \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{(a \cdot d) + (b \cdot c)}{b \cdot d}$, cualesquiera que sean $\frac{a}{b},\frac{c}{d} \in Q(R)$. Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro $\frac{0}{1}$ y que todo elemento $\frac{a}{b} \in Q(R)$ tiene por elemento simétrico (elemento opuesto) a $- \frac{a}{b}$. Así, $(Q(R),+)$ es un grupo abeliano.

Producto

Definimos la aplicación $\cdot: (Q(R) \setminus \{ 0 \}) \times (Q(R) \setminus \{ 0 \}) \longrightarrow Q(R)$ de la siguiente manera: $\cdot (\frac{a}{b},\frac{c}{d}) := \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$, cualesquiera que sean $\frac{a}{b},\frac{c}{d} \in Q(R) \setminus \{ 0 \}$. Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro $\frac{1}{1}$ y que todo elemento $\frac{a}{b} \in Q(R)$ tiene por elemento simétrico (elemento inverso) a $\frac{b}{a}$. Así, $(Q(R) \setminus \{ 0 \},\cdot)$ es un grupo abeliano.

Distributividad

Se demuestra sin dificultad que $\cdot$ es distributiva respecto de +. Esto hace que $(Q(R),+,\cdot)$ quede dotado de estructura de cuerpo.

Véase también

• Anillo de fracciones