Elemento simétrico

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En Álgebra abstracta, si tenemos un conjunto  A \, en el que se ha definido una operación matemática  \circ , que anotamos:  ( A , \circ ) \,, siendo la operación  \circ , interna en  A \, :


   \begin{array}{rcl}
      \circ : \; A \times A & \to & A             \\
      (a,b)                 & \to & c = a \circ b
   \end{array}

Con elemento neutro  e \, ,


   \forall a \in A , \quad
   \exists e \in A : \quad
   a \circ e = e \circ a = a

Se dice que un elemento  a \in A tiene:

elemento simétrico por la izquierda respecto de la operación  \circ si:


   a \in A , \quad
   \exists \overrightarrow{a} \in A : \quad
   \overrightarrow{a} \circ a = e

elemento simétrico por la derecha respecto de la operación  \circ si:


   a \in A , \quad
   \exists \overleftarrow{a} \in A : \quad
   a \circ \overleftarrow{a} = e

elemento simétrico respecto de la operación  \circ si existe un elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:


   a \in A , \quad
   \exists \bar{a} \in A : \quad
   \bar{a} \circ a =
   a \circ \bar{a} = e

Un elemento simétrico  \bar{a} de  A \, es simétrico por la derecha del elemento  a \, y simétrico por la izquierda del elemento  a \, .

Notación[editar]

Notación aditiva[editar]

Cuando la operación se denota por "+" (más), se denomina suma o adición.

la suma de Número entero: Z, es interna


   \forall a, b \in Z : \quad
   a + b \in Z

En ese caso, al elemento neutro se le denomina cero y se le denota por "0",


   \forall a \in Z , \quad
   \exists 0 \in Z : \quad
   a + 0 = 0 + a = a

y al elemento simétrico de  a \, se le denomina elemento opuesto de  a \, y se le denota por:  -a \, .

Así partiendo de los números entero: Z, y la operación suma: +, tenemos que:


   a \in Z , \quad
   \exists (-a) \in Z : \quad
   (-a) + a =
   a + (-a) = 0

Notación multiplicativa[editar]

Cuando la operación se denota por "·" (por), se denomina producto o multiplicación. La multiplicación en el conjunto de los números racionales: Q, es interna


   \forall a, b \in Q : \quad
   a \times b \in Q

En ese caso, al elemento neutro se le denomina uno o unidad y se le denota por "1":


   \forall a \in Q , \quad
   \exists 1 \in Q : \quad
   a \times 1 = 1 \times a = a

y al elemento simétrico de  a \, se le denomina elemento inverso de  a \, y se le denota por  a^{-1} \, o por  \frac{1}{a}

Partiendo de los números racionales: Q y de la operación multiplicación, tenemos:


   a \in Q , \quad
   \exists \frac{1}{a} \in Q : \quad
   \frac{1}{a} \times a =
   a \times \frac{1}{a} = 1

Véase también[editar]