Forma indeterminada

En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:

$\frac{0}{0} \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad 0\cdot\infty \qquad 1^\infty \qquad 0^0 \qquad \infty^0 \qquad +\infty-\infty$.

Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

Interpretación

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite

$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$

Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

Cociente indeterminado

La forma 0/0

Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x³, x/x, y x²/x se van a $\scriptstyle\infty$, 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando informalmente) 0/0 puede ser 0, $\scriptstyle\infty$ o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada.

Ejemplos:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \cfrac{0}{0}$

$\lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x} = \cfrac{0}{0}$

La forma ∞/∞

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma ideterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

Ejemplos:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = \frac {+\infty}{+\infty}$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)} = \frac {+\infty}{+\infty}$

Producto indeterminado

La forma indeterminada 0 • ∞

$\lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln x = 0 \cdot (-\infty)$

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos x \cdot \tan x = 0 \cdot \infty$

Diferencia indeterminada

En los casos en que el límite de una diferencia es $\infty$, no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma ideterminada del tipo $\infty-\infty$. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

Potencia indeterminada

• La forma 0⁰

$\lim_{x \to 0^+} x^x = \lim_{x \to 0^+} e^{\ln x^x} = \lim_{x \to 0^+} e^{x \ln x} = e^{\lim_{x \to 0^+} (x \ln x)}.$

• La forma ∞⁰
• La forma 1^∞

Ejemplo: el siguiente límite

$\lim_{x \to 0^+} x^{(\frac{3}{4 + \ln x})}$, es de la forma $0^0$; considerando

$y = x^{(\frac{3}{4 + \ln x})}$

y tomando logaritmos en ambos miembros resulta

$\ln y = \frac{3}{4 + \ln x }\ln x$ aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene

$\ln y = 3\cdot \frac{1/x}{1/x} = 3$ de manera que el límite sería

$\lim_{x \to 0^+} y = e^3$

Tabla de formas indeterminadas

La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.

Forma indeterminada	Condiciones	Transformación a 0/0	Transformación a ∞/∞
$\frac{0}{0}$	$\lim_{x \to c} f(x) = 0,\ \lim_{x \to c} g(x) = 0 \!$	—	$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)} \!$
$\infty \over \infty$	$\lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \!$	$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)} \!$	—
$\qquad 0\cdot\infty$	$\lim_{x \to c} f(x) = 0,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \!$	$\lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{1/g(x)} \!$	$\lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/f(x)} \!$
$\qquad 1^\infty$	$\lim_{x \to c} f(x) = 1,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \!$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \!$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \!$
$\qquad 0^0$	$\lim_{x \to c} f(x) = 0^+, \lim_{x \to c} g(x) = 0 \!$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \!$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \!$
$\infty^0$	$\lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = 0 \!$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \!$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \!$
$\qquad +\infty-\infty$	$\lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \!$	$\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x) - 1/f(x)}{1/(f(x)g(x))} \!$	$\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \ln \lim_{x \to c} \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}} \!$

Véase también

• Bien definido
• División por cero
• Recta real extendida
• Regla de l'Hôpital

Referencias

• Stewart, James (1999). Cálculo:Trascendentes tempranas. Thompson Learning. ISBN 970-686-127-0. http://books.google.es/books?id=T9C1HwG3pnQC&lpg=PA306&dq=forma%20indeterminada&pg=PA306#v=onepage&q=forma%20indeterminada&f=false. 
• Apostol, Tom (2006). Cálculus. Reverte. ISBN 968-6708-10-3. http://books.google.es/books?id=Z5-JhzoChqIC&lpg=PP1&pg=PP1#v=onepage&q&f=false.