Forma indeterminada

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En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:

\frac{0}{0} \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad 0\cdot\infty \qquad 1^\infty \qquad 0^0 \qquad \infty^0 \qquad +\infty-\infty .

Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

Interpretación[editar]

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite

 \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}

Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

Cociente indeterminado[editar]

La forma 0/0[editar]

Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x3, x/x, y x2/x se van a \scriptstyle\infty, 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando informalmente) 0/0 puede ser 0, \scriptstyle\infty o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada.

Ejemplos:


  \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} =
   \cfrac{0}{0}

  \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x} =
   \cfrac{0}{0}

La forma ∞/∞[editar]

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma ideterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

Ejemplos:


   \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} =
   \frac {+\infty}{+\infty}

  \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)} =
  \frac {+\infty}{+\infty}

Producto indeterminado[editar]

La forma indeterminada 0 • ∞


   \lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln x =
   0 \cdot (-\infty)



   \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos x \cdot \tan x =
   0 \cdot \infty

Diferencia indeterminada[editar]

En los casos en que el límite de una diferencia es \infty, no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma ideterminada del tipo \infty-\infty. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

Potencia indeterminada[editar]

  • La forma 00

\lim_{x \to 0^+} x^x
= \lim_{x \to 0^+} e^{\ln x^x}
= \lim_{x \to 0^+} e^{x \ln x}
= e^{\lim_{x \to 0^+} (x \ln x)}.
  • La forma ∞0
  • La forma 1

Ejemplo: el siguiente límite[1]

 \lim_{x \to 0^+} x^{(\frac{3}{4 + \ln x})} , es de la forma  0^0 ; considerando
 y = x^{(\frac{3}{4 + \ln x})}

y tomando logaritmos en ambos miembros resulta

 \ln y =  \frac{3}{4 + \ln x }\ln x   aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene
\ln y = 3\cdot \frac{1/x}{1/x} = 3 de manera que el límite sería
 \lim_{x \to 0^+} y = e^3

Tabla de formas indeterminadas[editar]

La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.

Forma indeterminada Condiciones Transformación a 0/0 Transformación a ∞/∞
\frac{0}{0}  \lim_{x \to c} f(x) = 0,\  \lim_{x \to c} g(x) = 0 \!
 \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)} \!
\infty \over \infty  \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\  \lim_{x \to c} g(x) = \infty \!  \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)} \!
\qquad 0\cdot\infty  \lim_{x \to c} f(x) = 0,\  \lim_{x \to c} g(x) = \infty \!  \lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{1/g(x)} \!  \lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/f(x)} \!
\qquad 1^\infty  \lim_{x \to c} f(x) = 1,\  \lim_{x \to c} g(x) = \infty \!  \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \!  \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \!
\qquad 0^0  \lim_{x \to c} f(x) = 0^+, \lim_{x \to c} g(x) = 0 \!  \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \!  \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \!
  \infty^0  \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\  \lim_{x \to c} g(x) = 0 \!  \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \!  \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \!
\qquad +\infty-\infty  \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\  \lim_{x \to c} g(x) = \infty \!  \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x) - 1/f(x)}{1/(f(x)g(x))} \!  \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \ln \lim_{x \to c} \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}} \!

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Kong, Maynard, Cálculo Diferencial, ISBN 9972-42-194-5, pg. 384