Teorema del emparedado

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
Los dos panes de molde atrapan al jamón intermedio.
La función x^2 \sin(1/x) (en azul) atrapada entre las funciones x^2 (en verde) y -x^2 (en rojo).

En cálculo, el teorema del emparedado (llamado también teorema de encaje, teorema de intercalación, teorema de estricción, teorema del enclaustramiento, teorema de compresión, teorema de las funciones mayorante y minorante, teorema del ladrón y los dos policías(Rusia), criterio del sándwich o teorema del sándwich) es un teorema usado en la determinación del límite de una función. Este teorema enuncia que si dos funciones tienden al mismo límite en un punto, cualquier otra función que pueda ser acotada entre las dos anteriores tendrá el mismo límite en el punto.

El teorema o criterio del sándwich es muy importante en demostraciones de cálculo y análisis matemático. Y es frecuentemente utilizado para encontrar el límite de una función a través de la comparación con otras dos funciones de límite conocido o fácilmente calculable. Fue utilizado por primera vez de forma geométrica por Arquímedes y Eudoxo en sus esfuerzos por calcular π. Aunque la formulación moderna fue obra de Gauss.

Exposición[editar]

El teorema del encaje o de intercalación es expuesto formalmente como:

Sea I un intervalo que contiene al punto a y sean f, g y h funciones definidas en I, exceptuando quizás el mismo punto a. Supongamos que para todo x en I diferente de a tenemos:


   g(x) \leq f(x) \leq h(x)

y supongamos también que:


   \lim_{x \to a} g(x) =
   \lim_{x \to a} h(x) = L

Entonces:


   \lim_{x \to a} f(x) = L
  • Las funciones g(x) y h(x) son llamadas cotas de f(x), o también funciones minorante y mayorante de f(x) respectivamente.

Indeterminaciones[editar]

Uno de los usos más frecuentes del teorema del sándwich es en la resolución de límites indeterminados. En particular, permite afirmar que el límite

\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Algunas indeterminaciones pueden resolverse despejando dicha expresión de la expresión general y aplicando propiedades del límite con el resto.

Ejemplo[editar]

Se intenta calcular el límite \lim_{x\to 0} \textstyle \cfrac{\sin x}{x}, que es una indeterminación del tipo \frac{0}{0}.

  • Se toma la relación \cos x \, \sin x \leq x \leq \tan x en el intervalo (0,π/2).
  • Dividiendo los miembros por \sin x resulta:
   \cos x \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x}
  • \frac{1}{\cos x} \geq \frac{\sin x}{x} \geq \cos x
  • Se sabe que \lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos x} = 1 y que \lim_{x\to 0} \cos x = 1
  • Por el teorema de sandwich, \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.

Referencias[editar]

Véase también[editar]