Fórmula de De Moivre

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La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right).\,

Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1.

Abraham De Moivre fue amigo de Newton; en 1698 éste último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.

Contenido

[editar] Obtención

La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:

e^{ix} = \cos x + \mathrm{i}\,\sin x

aplicando leyes de la exponenciación

\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} .\,

Entonces, por la fórmula de Euler,

e^{i(nx)} = \cos(nx) + i\sin(nx)\,.

[editar] Derivaciones

Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:

e^{ix} = \cos x + \mathrm{i}\,\sin x

Si hacemos que x = π entonces tenemos la fórmula de Euler:

e^{i\pi} = \cos \pi + \mathrm{i}\,\sin \pi=-1+0=-1

Es decir:

e^{i\pi}=-1 \,

Además como tenemos estas dos igualdades:

e^{ix} = \cos x + \mathrm{i}\,\sin x \,
e^{-ix} = \cos x - \mathrm{i}\,\sin x \,

podemos deducir lo siguiente:

\cos x = ( e^{ix} + e^{-ix} ) / 2 \,
\sin x = ( e^{ix} - e^{-ix} ) / 2\mathrm{i}\,

[editar] Demostración por inducción

Consideramos tres casos.

Para n > 0, procedemos a través de la inducción matemática. Cuando n = 1, el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo k. Eso es que asumimos:

\left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos\left(kx\right) + i \sin\left(kx\right). \,

Ahora, considerando el caso n = k + 1:

\begin{alignat}{2} \left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\ & = \left[\cos\left(kx\right) + i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+i\sin x\right) \qquad \mbox{por la hipotesis de induccion}\\ & = \cos \left(kx\right) \cos x - \sin \left(kx\right) \sin x + i \left[\cos \left(kx\right) \sin x + \sin \left(kx\right) \cos x\right]\\ & = \cos \left[ \left(k+1\right) x \right] + i\sin \left[ \left(k+1\right) x \right] \qquad \mbox{por las identidades trigonometricas} \end{alignat}

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.

Cuando n = 0 la fórmula es verdadera ya que cos(0x) + isin(0x) = 1 + i0 = 1, y (por convención) z0 = 1.

Cuando n < 0, consideramos un entero positivo m tal que n = −m. Por lo tanto: \begin{alignat}{2} \left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + i\sin x\right)^{-m}\\ & = \frac{1}{\left(\cos x + i\sin x\right)^{m}}\\ & = \frac{1}{\left(\cos mx + i\sin mx\right)}\\ & = \cos\left(mx\right) - i\sin\left(mx\right)\\ & = \cos\left(-mx\right) + i\sin\left(-mx\right)\\ & = \cos\left(nx\right) + i\sin\left(nx\right). \end{alignat}

Por lo tanto el teorema es verdadero para todos los valores enteros de n.

[editar] Generalización

Una representación en el plano complejo de las raíces cúbicas de 1.

La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces

\left(\cos z + i\sin z\right)^w

es una función multivaluada mientras

\cos (wz) + i \sin (wz)\,

no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:

\cos (wz) + i \sin (wz) \,     es un valor de     \left(\cos z + i\sin z\right)^w\,.

[editar] Aplicaciones

Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar las raíces enésimas de un número complejo. Si z es un número complejo escrito en la forma polar

z=r\left(\cos x+i\sin x\right),\,

entonces

z^{1/n} = \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^{1/n} = r^{1/n} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]

dónde k es un entero, para obtener las n raíces diferentes de z solamente se necesita considerar valores de k que vayan desde 0 a n − 1.


[editar] Véase también

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_De_Moivre"
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