Identidad de Euler
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Se llama identidad de Euler a una fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas:
donde:
- π es el número más importante de la geometría
- e es el número más importante del análisis matemático
- i es el número más importante del álgebra
- 0 y 1 son las bases de la aritmética por ser los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación
Otra curiosidad de esta fórmula es que, si la escribimos de esta manera:
representa la evolución del concepto de número a lo largo de la historia. Desde el concepto más intuitivo, los números naturales, conocidos desde la prehistoria, añadiendo los números negativos (representados por -1) obtenemos los números enteros. Luego, añadiendo las fracciones (no aparecen) obtenemos los racionales. Después, añadiendo los irracionales (e y π) obtenemos los números reales. Y finalmente, añadiendo los números imaginarios (representados por i) obtenemos los números complejos.
Volviendo a la primera fórmula, se puede ver que también cuenta la historia de una evolución en las matemáticas, en este caso de las operaciones aritméticas. Aparecen una suma, un producto y una potencia.
[editar] Derivación
La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que
para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman en radianes.) En particular si
Entonces
Y ya que
y que
Se sigue que
Lo cual implica la identidad
Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:
en la expanción polinomial de e a la potencia x:
para obtener:
simplificando (usando i2 = -1):
Al separar el lado derecho de la ecuación en subseries real e imaginarias:
Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica
