Identidad de Euler

Se llama identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas de la misma:

$e^{i \pi} + 1 = 0\,\!$

donde:

• π (número pi) es un número irracional y trascendental que relaciona la longitud del círculo con su diámetro y está presente en varias de las ecuaciones más fundamentales de la física.
• e (número de Euler) es el límite de la sucesión $e=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}$, que aparece en numerosos procesos naturales y en diferentes problemas físicos y matemáticos y es también un número irracional y trascendental.
• i (unidad imaginaria) es la raíz cuadrada de -1, a partir del cuál se construye el conjunto de los números complejos.
• 0 y 1 son los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación

Esta identidad se puede emplear para calcular π:

$\pi = \frac {\ln(-1)}{i}\,\!$

Derivación

Fórmula de Euler para un ángulo general.

La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!$

para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman en radianes.) En particular si

$x = \pi \,\!$

entonces

$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!$

y ya que

$\cos \pi = -1 \,\!$

y que

$\sin \pi = 0 \,\!$

se sigue que

$e^{i \pi} = -1 \,\!$

Lo cual implica la identidad

$e^{i \pi} +1 = 0 \,\!$

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Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

$x = i\pi,\,\!$

en la expansión polinomial de e a la potencia x:

$e^x = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \frac {x^4}{4!} + ... ,\,\!$

para obtener:

$e^{i\pi} = 1 + i\pi + \frac {(i\pi)^2}{2!} + \frac {(i\pi)^3}{3!} + \frac {(i\pi)^4}{4!}+ ... ,\,\!$

simplificando (usando i² = -1):

$e^{i\pi} = 1 + i\pi - \frac {\pi^2}{2!} - \frac {i\pi^3}{3!} + \frac {\pi^4}{4!} + ... ,\,\!$

Al separar el lado derecho de la ecuación en subseries real e imaginarias:

$i(\pi - \frac {\pi^3}{3!} + \frac {\pi^5}{5!} - \frac {\pi^7}{7!} + ...) = 0 \quad ; \quad (1 - \frac {\pi^2}{2!} + \frac {\pi^4}{4!} - \frac {\pi^6}{6!} + ...) = -1\!$

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

$e^{i \pi} = -1\,\!$

Logaritmos de números negativos

Durante la historia ha habido disputas sobre cómo calcular los logaritmos de números negativos. Gracias a la identidad de Euler, dicha disputa ha sido zanjada. Si queremos calcular, por ejemplo, $\ln(-4)$ podemos proceder de la siguiente manera:

$\ln(-4) = (\ln(-1) + \ln(4))$

Sabiendo que $\ln(-1)=\pi i$:

$\pi i + \ln(4) \!$

Véase también

• Leonhard Euler
• Fórmula de Euler

Referencias

• Weisstein, Eric W.. «Euler Formula» (en inglés). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Consultado el 15-05-2009.