Identidad de Euler

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Se llama identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas de la misma:

e^{i \pi} + 1 = 0\,\!

donde:

Esta identidad se puede emplear para calcular π:

 \pi = \frac {\ln(-1)}{i}\,\!

Derivación[editar]

Fórmula de Euler para un ángulo general.

La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que

e^{ix} = \cos x + i \sen x \,\!

para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman en radianes.) En particular si

x = \pi \,\!

entonces

e^{i \pi} = \cos \pi + i \sen \pi \,\!

y ya que

\cos \pi = -1  \,\!

y que

\sen \pi = 0 \,\!

se sigue que

e^{i \pi} = -1 \,\!

Lo cual implica la identidad

e^{i \pi} +1 = 0 \,\!

Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

x = i\pi,\,\!

en el desarrollo polinómico de e a la potencia x:

e^x = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \frac {x^4}{4!} + ... ,\,\!

para obtener:

e^{i\pi} = 1 + i\pi + \frac {(i\pi)^2}{2!} + \frac {(i\pi)^3}{3!} + \frac {(i\pi)^4}{4!}+ ... ,\,\!

simplificando (usando i2 = -1):

e^{i\pi} = 1 + i\pi - \frac {\pi^2}{2!} - \frac {i\pi^3}{3!} + \frac {\pi^4}{4!} + ... ,\,\!

Al separar el segundo miembro de la ecuación en subseries real e imaginarias:

i(\pi - \frac {\pi^3}{3!} + \frac {\pi^5}{5!} - \frac {\pi^7}{7!} + ...) = 0 \quad ; \quad (1 - \frac {\pi^2}{2!} + \frac {\pi^4}{4!} - \frac {\pi^6}{6!} + ...) = -1\!

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

e^{i \pi} = -1\,\!

Logaritmos de números negativos[editar]

Durante la historia ha habido disputas sobre cómo calcular los logaritmos de números negativos. Gracias a la identidad de Euler, dicha disputa ha sido zanjada. Si queremos calcular, por ejemplo, \ln(-4) podemos proceder de la siguiente manera:

\ln(-4) = \ln(-1) + \ln(4)

Sabiendo que \ln(-1)=\pi i:

\pi i + \ln(4) \!

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Weisstein, Eric W.. «Euler Formula» (en inglés). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Consultado el 15-05-2009.