Identidad de Euler

Se llama identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas.

$e^{i \pi} + 1 = 0\,\!$

donde:

• π (pi) es el número más importante de la geometría^{[cita requerida]}
• e (número de Euler o constante de Napier) es el número más importante del análisis matemático^{[cita requerida]}
• i (imaginario) es el número más importante del álgebra^{[cita requerida]}
• 0 y 1 son los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación

Esta identidad se puede emplear para calcular π:

$\pi = \frac {ln(-1)}{i}\,\!$

Derivación

Fórmula de Euler para un ángulo general.

La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!$

para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman en radianes.) En particular si

$x = \pi \,\!$

entonces

$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!$

y ya que

$\cos \pi = -1 \,\!$

y que

$\sin \pi = 0 \,\!$

se sigue que

$e^{i \pi} = -1 \,\!$

Lo cual implica la identidad

$e^{i \pi} +1 = 0 \,\!$

---

Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

$x = i\pi,\,\!$

en la expansión polinomial de e a la potencia x:

$e^x = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \frac {x^4}{4!} + ... ,\,\!$

para obtener:

$e^{i\pi} = 1 + i\pi + \frac {(i\pi)^2}{2!} + \frac {(i\pi)^3}{3!} + \frac {(i\pi)^4}{4!}+ ... ,\,\!$

simplificando (usando i² = -1):

$e^{i\pi} = 1 + i\pi - \frac {\pi^2}{2!} - \frac {i\pi^3}{3!} + \frac {\pi^4}{4!} + ... ,\,\!$

Al separar el lado derecho de la ecuación en subseries real e imaginarias:

$i(\pi - \frac {\pi^3}{3!} + \frac {\pi^5}{5!} - \frac {\pi^7}{7!} + ...) = 0 \quad ; \quad (1 - \frac {\pi^2}{2!} + \frac {\pi^4}{4!} - \frac {\pi^6}{6!} + ...) = -1\!$

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

$e^{i \pi} = -1\,\!$

Logaritmos de números negativos

Durante la historia ha habido disputas sobre cómo calcular los logaritmos de números negativos. Gracias a la identidad de Euler, dicha disputa ha sido zanjada. Si queremos calcular, por ejemplo, log( − 4) podemos proceder de la siguiente manera:

$log(-4) \!$

$log(-1) + log(4) \!$

$\ln(-1)/2,3026 + log(4) \!$

Sabiendo que ln( − 1) = πi:

$\pi i/2,3026 + log(4) \!$

Referencias

• Crease, Robert P., "The greatest equations ever", PhysicsWeb, October 2004 (registration required).
• Crease, Robert P. "Equations as icons," PhysicsWeb, March 2007 (registration required).
• Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (New York: Penguin, 2004).
• Kasner, E., and Newman, J., Mathematics and the Imagination (Bell and Sons, 1949).
• Maor, Eli, e: The Story of a number (Princeton University Press, 1998), ISBN 0-691-05854-7
• Nahin, Paul J., Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills (Princeton University Press, 2006), ISBN 978-0-691-11822-2
• Reid, Constance, From Zero to Infinity (Mathematical Association of America, various editions).
• Sandifer, Ed, "Euler's Greatest Hits", MAA Online, February 2007.
• Jayadev, C, "The Greatest equation ever"
• Weisstein, Eric W.. «Euler Formula» (en inglés). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Consultado el 15-05-2009.

Véase también

• Leonhard Euler
• Fórmula de Euler

Enlaces externos

• Demostración completa de la identidad de Euler