Radián

El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad.

Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional de Unidades, junto con el estereorradián. A partir de ese año, y hasta el momento presente, ambas unidades figuran en la categoría de unidades derivadas.

Esta unidad se utiliza primordialmente en física, cálculo infinitesimal, trigonometría, goniometría, etc.

Definición

El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios; es decir, θ = s/r, donde θ es ángulo, s es la longitud del arco, y r es el radio. Por tanto, el ángulo completo, $\scriptstyle{\theta}_\text{circunferencia}$, que subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes, es:

$\theta_\text{circunferencia}=\frac {L_\text{circunferencia}}{r} =\frac {2 \pi r}{r}=2 \pi\ \text{rad}\,$

Utilidad

El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de π.

Análisis dimensional

El radián es la unidad natural en la medida de los ángulos. Por ejemplo, la función seno de un ángulo "x" expresado en radianes cumple:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sen (x)}{x}=1$

Análogamente los desarrollos Taylor de las funciones seno y coseno son:

• $\sen(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$
• $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$

donde x se expresa en radianes.

Equivalencias

• La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°
• La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200^g

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Grados

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

Radianes

0

π/6

π/4

π/3

π/2

2π/3

3π/4

5π/6

π

7π/6

5π/4

4π/3

3π/2

5π/3

7π/4

11π/6

2π

Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el grado sexagesimal, el grado centesimal y, en astronomía, la hora.

• El Radián tiene una unidad derivada llamada π Radian por segundo (πRad/s). Esta tiene una equivalencia con las Rpm. Las equivalencias se pueden calcular fácilmente con la ecuación que sigue:

De Rpm a πRad

$\frac{Rpm} {2} \cdot 60 = \pi Rad$ que con la ecuación simplificada:$\frac{Rpm} {1} \cdot 30 = \pi Rad$

De πRad a Rpm

$\frac{\pi Rad} {60} \cdot 2 = Rpm$ que con la ecuación simplificada:$\frac {\pi Rad} {30} =\ Rpm$

Conversiones entre grados y radianes

Ángulos de los polígonos más comunes medidos en radianes, expresados como fracciones de π.

Tabla de conversión entre grados sexagesimales y radianes.

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes; un ángulo de 180° equivale a π radianes (recordemos que el número π ≈ 3,14159265359…).

Las equivalencias de los principales ángulos se muestran en las siguientes figuras:

Para convertir grados en radianes o viceversa, partimos de que 180° equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.

• Ejemplo A

Convertir 38° a radianes. radian × 38º 38º radian /180º = 0.21 radianes.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.

$\frac { \pi}{180}=\frac {x}{38}$

Despejamos x, también simplificamos.

${x}=\frac {38 \pi}{180}=\frac {19 \pi}{90}$

Por último obtenemos el equivalente decimal:

x = 0,6632 radianes.

• Ejemplo B

Convertir 2,4 radianes a grados.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados.

$\frac { \pi}{180}=\frac {2.4}{x}$

Despejamos x.

$\text{x}=\frac {180*2.4}{ \pi}$

Por último obtenemos el equivalente decimal:

x = 137.5099°"

Véase también

• Estereorradián
• Grado sexagesimal
• Grado centesimal
• Ángulo

Referencias

• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.

Bibliografía

• Florian Cajori, 1929, History of Mathematical Notations, Vol. 2, pp. 147–148; Nature, 1910, Vol. 83, pp. 156, 217, and 459–460;

Enlaces externos

• Conversión de radián en otras unidades