Combinación lineal

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Una combinación lineal es una expresión matemática que consiste en la suma entre pares de elementos, de determinados conjuntos, multiplicados entre sí.

En particular, la combinación lineal de un conjunto de vectores se trata de un vector de la forma

v = k_1 v_1 + k_2 v_2 + ... + k_n v_n = \sum_{i=1}^n k_i v_i

con los k_i elementos de un cuerpo.

Definición[editar]

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B.

Se define como combinación lineal a toda expresión de la forma

\sum_{\begin{smallmatrix}a \in A \\ b\in B\end{smallmatrix}} a b.

Resulta de especial interés la definición de combinación lineal de un vector con respecto a un conjunto.

Espacios vectoriales[editar]

Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo \mathbb{K} y un conjunto \ A = \{ v_1, v_2, v_3,..., v_n \} de vectores en V, es decir, A\subset V.

Se dice que un vector v \in V es combinación lineal de A si \exists k_1, \dots, k_n \in \mathbb{K} : v = \sum_{i=1}^n k_i v_i.

En términos no tan formales, diremos que v es combinación lineal de vectores de A si podemos expresarlo como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de A. En este caso, también se dice que v depende linealmente de los vectores de A.[1]

Ejemplos[editar]

Combinación lineal de dos vectores en el espacio.
  1. La terna ordenada (20, 12, 37) es una combinación lineal de (1, 3, 5) y (6, 2, 9):

    \begin{pmatrix} 20 \\ 12 \\ 37 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}.

  2. En general, dado un vector v en un espacio vectorial, todo múltiplo suyo \lambda v es combinación lineal. Para el caso particular v \in \mathbb{R}^2, sus múltiplos son vectores en el plano con la misma dirección, es decir, paralelos.

  3. Dado v \in \mathbb{R}^3, decir que v es combinación lineal de otros dos vectores v_1, v_2 no paralelos equivale a afirmar que los tres vectores son coplanarios, es decir, que se encuentran en un mismo plano.

  4. En la ecuación 2x + 3y - 2z = 0 se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir z = x + \frac{3}{2} y sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

Espacio generado[editar]

Dado un conjunto de vectores A del espacio vectorial V, finito o infinito, se llama espacio generado, denotado como \mbox{gen}(A), al conjunto:[2]

\mbox{gen}(A) = \left\{v\in V | \exists a_1,\dots a_n\in \mathbb{K}, \exists v_1,\dots v_n \in V : v = \sum_{i=1}^n a_i v_i \right\}

donde \mathbb{K} es el cuerpo sobre el cual está definido V. En términos menos formales, el espacio generado a partir de A es el conjunto de todas las combinaciones lineales que pueden formarse con los vectores de A. Dicho conjunto es el mínimo subespacio vectorial de V que contiene al conjunto A.[cita requerida]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. De Burgos, Juan (2006). Álgebra lineal y geometría cartesiana (3ª edición). McGraw-Hill. p. 26. ISBN 9788448149000. 
  2. Poole, David (2011). Álgebra lineal (3.ª edición). Cengage Learning. p. 96. ISBN 9786074816082.