Combinación lineal

Un vector $\ x$ se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores $\ A = \{ x_1, x_2, x_3,...,x_n \}\in (V,\mathbb{K})$ si se puede expresar como suma de los vectores de $\ A$ multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar $\ a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{K}$, es decir:

$\ x = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = \sum_{i=1}^n a_i x_i$.

Así, $\ x$ es combinación lineal de vectores de $\ A$ si podemos expresar $\ x$ como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de $\ A$.

Ejemplo:

El vector (20, 12, 37) es una combinación lineal de los vectores (1, 3, 5) y (6, 2, 9):

$\begin{pmatrix} 20 \\ 12 \\ 37 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}.$

Otro ejemplo:

$2x + 3y - 2z = 0$ : Se dice que $z$ es combinación lineal de $x$ y de $y$, porque podemos escribir $z = x + \frac{3}{2} y$ sin más que despejar la $z$. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

Los escalares dicen cuánto de cada vector del conjunto $\ A$ necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos, pueda formar el vector $\ x$ en cuestión.

Expansión lineal

Dado un conjunto de vectores $A\,$, finito o infinito, se llama expansión lineal, denotada como $\mbox{span}(A)$ al conjunto:^{[cita requerida]}

$\mbox{span}(A) = \{v\in V_\mathbb{K} | \exists a_1,\dots a_n\in \mathbb{K}, \exists x_1,\dots x_n \in V_\mathbb{K}: v = \sum_{i=1}^n a_ix_i \}$

Dicho conjunto es el mínimo subespacio vectorial de $V_\mathbb{K}$ que contiene al conjunto $A\,$.

Véase también

• Sistema generador
• Independencia lineal
• Base (álgebra)
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Coordenadas cartesianas
• Producto escalar
• Producto vectorial
• Producto mixto
• Producto tensorial