Producto escalar

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En matemáticas el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto, es una operación definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado es una magnitud escalar.

Un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial sobre el que se ha definido un producto escalar. Si el espacio es de dimensión finita se trata de un espacio euclídeo.

Contenido

1 Definición simplificada para espacios euclídeos reales
- 1.1 Propiedades del producto escalar en un espacio euclídeo real
- 1.2 Productos interiores definidos en espacios vectoriales
2 Definición general
3 Véase también

[editar] Definición simplificada para espacios euclídeos reales

El producto escalar habitual en el caso particular de dos vectores en el plano, o en un espacio euclídeo N-dimensional, se define como el producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo $θ$ que forman. Note que $θ$ es siempre menor o igual que 180°. El resultado es siempre una magnitud escalar. Se representa por un punto, para distinguirlo del producto vectorial que se representa por un aspa:

$\vec{A} \cdot \vec{B}=|\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta$

El producto escalar habitual también puede calcularse a partir de las coordenadas cartesianas de ambos vectores, en una base ortonormal (ortogonal y unitaria, es decir, con vectores de tamaño igual a la unidad y que forman ángulos rectos entre sí):

$\vec{A}\cdot\vec{B}=(a_1, a_2, a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

[editar] Propiedades del producto escalar en un espacio euclídeo real

Conmutativa:

$\vec{A} \cdot \vec{B}=\vec{B} \cdot \vec{A}$

Asociativa:

$m (\vec{A} \cdot \vec{B})= (m\vec{A}) \cdot \vec{B}=\vec{A}\cdot(m\vec{B})$ siendo m un escalar.

Distributiva:

$\vec{A}\cdot(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\vec{C}$

Si los vectores son ortogonales, su producto escalar es nulo (cos 90º = 0), y viceversa.

[editar] Productos interiores definidos en espacios vectoriales

En el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$ se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:

$\vec{A}\cdot\vec{B}=(a_1, a_2, a_3, ..., a_n)\cdot(b_1,b_2,b_3, ..., b_n)=a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... a_n b_n$

En el espacio vectorial $\mathbb{C}^n$ se suele definir el producto interior por:

$\vec{A}\cdot\vec{B}=(a_1, a_2, a_3, ..., a_n)\cdot(b_1,b_2,b_3, ..., b_n)=a_1 \overline{b_1} + a_2 \overline{b_2} + ... a_n \overline{b_n}$

En el espacio vectorial de las matrices de mxn elementos

$\vec{A}\cdot\vec{B}=\operatorname{tr} (A \cdot B^T)$

donde tr es la traza de la matriz.

En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo acotado por a y b (C[a, b])

$\vec{f}\cdot\vec{g} = \int_{a}^{b} f(x)g(x)\mathrm{d} x$

Dado $\textstyle [x_1,x_2,x_3,...,x_n,x_n+1] \subseteq \mathbb{R}$ tal que $\textstyle x_1<x_2<x_3<...<x_n<x_n+1 \,$ , en el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:

$\vec{p}\cdot\vec{q} = p(x_1)q(x_1)+p(x_2)q(x_2)+...+p(x_n)q(x_n)+p(x_n+1)q(x_n+1)$

De manera similar a como se definen los productos interiores anteriores, se puede definir cualquier otro con la condición de que únicamente debe satisfacer la definición de un producto interior.

[editar] Definición general

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

Una operación $\langle \cdot,\cdot \rangle: V \times V \longrightarrow K$ donde V es el espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido, que tiene que cumplir:

$\langle ax+by,z \rangle = a \langle x,z \rangle + b \langle y,z \rangle \,$ (lineal en el primer componente),
$\langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle }$ (hermítica),
$\langle x,x \rangle \geq 0 \,$ , y $\langle x,x \rangle = 0 \,$ si y sólo si x = 0 (definida positiva),

donde x,y,z son vectores arbitrarios, a,b representan escalares cualesquiera y $\overline{c}$ es el conjugado del complejo c.

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., $\mathbb{R}$ ), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por $(\cdot|\cdot)$ o por $\bullet$ .

Un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio euclídeo.