Matriz transpuesta

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Sea A una matriz con m filas y n columnas. La matriz transpuesta, denotada con A^t.[1] [2]

Está dada por:

(A^t)_{ij} = A_{ji},\ 1\le i\le n,\ 1\le j\le m

En donde el elemento a_{ji} de la matriz original A se convertirá en el elemento a_{ij} de la matriz transpuesta A^t.

Ejemplos[editar]


   \begin{bmatrix}
      a & b  \\
      c & d
   \end{bmatrix}^t
   =
   \begin{bmatrix}
      a & c  \\
      b & d
   \end{bmatrix}

   \begin{bmatrix}
      1 & 2 \\
      3 & 4 \\
      5 & 6 \\
   \end{bmatrix}^t
   = 
   \begin{bmatrix}
      1 & 3 & 5 \\
      2 & 4 & 6
   \end{bmatrix}

Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:


\begin{bmatrix}  0 & 0 & 4 \\  1 & 0 & 4 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 3 & 2 \\  0 & 2 & 3 \\  0 & 3 & 4 \\  3 & 3 & 1 \end{bmatrix}^t  
\quad = \quad
\begin{bmatrix}  0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\  0 & 0 & 1 & 3 & 2 & 3 & 3 \\  4 & 4 & 0 & 2 & 3 & 4 & 1 \end{bmatrix}

Propiedades[editar]

Para toda matriz A


   (A^t)^t = A \,

Sean A y B matrices con elementos pertenecen a un anillo  \mathcal{A} y sea  c \in \mathcal{A} :


   (A + B)^t = A^t + B^t \,

   (c \, A)^t = c \, A^t

Si el producto de las matrices A y B está definido,


   (AB)^t = B^tA^t \,

Si A es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces


   A^t A \,

es semidefinida positiva.

Definiciones asociadas[editar]

Una matriz cuadrada A es simétrica si coincide con su transpuesta:


   A^t = A \,

Una matriz cuadrada A es antisimétrica si su transpuesta coincide con su inverso aditivo.


   A^t = -A \,

Si los elementos de la matriz A son números complejos y su transpuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.


   A^t = \bar{A}, \quad
   A = (\bar{A})^t = A^\dagger

y antihermítica si


   A^t = -\bar{A}

Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).

Véase también[editar]

  • La definición de matriz transpuesta se usa en la definición de Matriz ortogonal.
  • Escítala : Instrumento antiguo para cifrar mensajes basado en la transposición de matrices.

Referencias[editar]

  1. García Merayo, Félix (1995). «7.5». Lecciones prácticas de cálculo numérico (en español) (1 edición). Universidad Pontifica Comillas. p. 96. ISBN 9788487840685. 
  2. Kurmyshev, Evguenii (2003). «2.2.3». Fundamentos de métodos matemáticos para física e ingeniería (en español) (1 edición). LIMUSA SA. p. 35. ISBN 9789681863661. 

Enlaces externos[editar]