Matriz simétrica

Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta.

Una matriz de $n\times m$ elementos:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & . & . & .& a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & . & . & .& a_{2m} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & . & . & .& a_{3m} \\ . & . & . & . & . & .& . \\ . & . & . & . & . & .& . \\ . & . & . & . & . & .& . \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & . & . & .& a_{nm} \\ \end{pmatrix}$

es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y $a_{ij} = a_{ji}$ para todo i distinto de j con i, j =1,2,3,4,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal.

Ejemplo para n = 3:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 4 \\ 3 & 4 & 7 \\ \end{pmatrix}$

A es también la matriz traspuesta de sí misma: $A^t = A$. Esta última igualdad es una definición alternativa de matriz simétrica. Las matrices simétricas son un caso particular de las matrices hermíticas.

Propiedades

Uno de los teoremas básicos que concierne este tipo de matrices es el teorema espectral de dimensión finita, que dice que toda matriz simétrica cuyos elementos sean reales es diagonalizable. En particular, es semejante a una matriz ortogonal.

Autovalores

Como las matrices simétricas son un caso particular de las matrices hermíticas, todos sus autovalores son reales.

Con base en las propiedades de los autovalores de una matriz simétrica, se pueden clasificar en los siguientes tipos:

• definida positiva: Una matriz simétrica es definida positiva si y solo si todos sus autovalores son estrictamente positivos.
• definida negativa: Una matriz simétrica es definida negativa si y solo si todos sus autovalores son estrictamente negativos.
• semidefinida positiva: Una matriz simétrica es semidefinida positiva si y solo si todos sus autovalores son mayores o iguales a cero.
• semidefinida negativa: Una matriz simétrica es semidefinida negativa si y solo si todos sus autovalores son menores o iguales a cero.

Descomposición en matriz simétrica y antisimétrica

Sea A una matriz cuadrada, esta se puede descomponer en suma de parte simétrica y antisimétrica de la siguiente forma:

$A = \frac{1}{2}\left(A+A^T\right)+\frac{1}{2}\left(A-A^T\right)$

donde la parte simétrica es

$\frac{1}{2}\left(A+A^T\right)$