Matriz antisimétrica

Una matriz es antisimétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a la opuesta de su traspuesta.

Una matriz de mxn elementos (m = filas, n = columnas) :

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & . & . & .& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & . & . & .& a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & . & . & .& a_{3n}\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & . & . & .& a_{mn}\\ \end{pmatrix}$

es antisimétrica (o hemisimétrica), si es una matriz cuadrada (m = n) y $a_{ji} = -a_{ij}$ para todo i, j =1,2,3,...,n. En consecuencia, $a_{ii} = 0$ para todo i. Por lo tanto, la matriz A asume la forma:

$A = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} & . & . & .& a_{1n}\\ -a_{12} & 0 & a_{23} & . & . & .& a_{2n}\\ -a_{13} & -a_{23} & 0 & . & . & .& a_{3n}\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ -a_{1n} & -a_{2n} & -a_{3n} & . & . & .& 0\\ \end{pmatrix}$

Ejemplo

$A = \begin{pmatrix} {0} & {-2} & {4}\\ {2} & {0} & {2}\\ {-4} & {-2}&{0}\\ \end{pmatrix}$ = > $-A = \begin{pmatrix} {0} & {2} & {-4}\\ {-2} & {0} & {-2}\\ {4} & {2}&{0}\\ \end{pmatrix}$

La diagonal principal se conserva y todos los otros números son cambiados de signo al opuesto.

Nótese que la matriz traspuesta de la matriz antisimetrica A es -A, y que la antisimetría es respecto a la diagonal principal.

Si n=m es impar el determinante de la matriz siempre sera 0.

Descomposición en matriz simétrica y antisimétrica

Sea A una matriz cuadrada, esta se puede descomponer en suma de parte simétrica y antisimétrica de la siguiente forma:

$A = \frac{1}{2}\left(A+A^T\right)+\frac{1}{2}\left(A-A^T\right)$

donde la parte antisimétrica es

$\frac{1}{2}\left(A-A^T\right)$