Matriz traspuesta

Sea $A$ una matriz con $m$ filas y $n$ columnas. La matriz transpuesta, denotada con $A^t$ está dada por

$(A^t)_{ij} = A_{ji},\ 1\le i\le n,\ 1\le j\le m$

En donde el elemento $a_{ji}$ de la matriz original $A$ se convertirá en el elemento $a_{ij}$ de la matriz transpuesta $A^t$.

Ejemplos

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$

Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 4 \\ 3 & 3 & 1 \end{bmatrix}^t \quad = \quad \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 2 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 0 & 2 & 3 & 4 & 1 \end{bmatrix}$

Propiedades

Para toda matriz $A$

$(A^t)^t = A \,$

Sean A y B matrices con elementos pertenecen a un anillo $\mathcal{A}$ y sea $c \in \mathcal{A}$:

$(A + B)^t = A^t + B^t \,$

$(c \, A)^t = c \, A^t$

Si el producto de las matrices $A$ y $B$ está definido,

$(AB)^t = B^tA^t \,$

Si $A$ es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces

$A^t A \,$

es semidefinida positiva.

Definiciones asociadas

Una matriz cuadrada $A$ es simétrica si coincide con su transpuesta, esto es si

$A^t = A \,$

Es antisimétrica si coincide con su negativa.

$A^t = -A \,$

Si los elementos de la matriz $A$ son números complejos y su transpuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.

$A^t = \bar{A}, \quad A = (\bar{A})^t = A^\dagger$

y antihermítica si

$A^t = -\bar{A}$

Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (la matrices simétricas son un caso particular) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).

Véase también

La definición de matriz transpuesta se usa en la definición de Matriz ortogonal.

Escítala : Instrumento antiguo para cifrar mensajes basado en la transposición de matrices.