Matriz definida positiva

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En el álgebra lineal, una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que es análoga a los números reales positivos.

Contenido

[editar] Definiciones equivalentes

Sea M una matriz hermitiana cuadrada n × n. De ahora en adelante denotaremos la transpuesta de una matriz o vector a como aT, y el conjugado transpuesto, a * . Esta matriz M se dice definida positiva si cumple con una (y por lo tanto, las demás) de las siguientes formulaciones equivalentes:

1. Para todos los vectores no nulos z \in \mathbb{C}^n tenemos que
\textbf{z}^{*} M \textbf{z} > 0.

Nótese que z * Mz es siempre real.
2. Todos los autovalores λi de M son positivos. (Recordamos que los autovalores de una matriz hermitiana o en su defecto, simétrica, son reales.)
3. La función
\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}

define un producto interno \mathbb{C}^n.
4. Todos los menores principales de M son positivos. O lo que es equivalente; todas las siguientes matrices tienen determinantes positivo.
  • la superior izquierda de M de dimensión 1x1
  • la superior izquierda de M de dimensión 2x2
  • la superior izquierda de M de dimensión 3x3
  • ...
  • la superior izquierda de M de dimensión (M-1)x(M-1)
  • M en sí misma

Análogamente, si M es una matriz real simétrica, se reemplaza \mathbb{C}^n por \mathbb{R}^n, y la conjugada transpuesta por la transpuesta.

[editar] Propiedades

  • Toda matriz definida positiva es invertible (su determinante es positivo), y su inversa es definida positiva.
  • Si M es una matriz definida positiva y r > 0 es un número real, entonces rM es definida positiva.
  • Si M y N son matrices definidas positivas, entonces la suma M + N. Además si

MN = NM, entonces MN es también definida positiva.

  • Toda matriz definida positiva M, tiene al menos una matriz raíz cuadrada N tal que N2 = M.

[editar] Matrices definidas negativas, semidefinidas positivas e indefinidas

La matriz hermitiana M se dice:

- definida negativa si x^{*} M x < 0\, para todos los vectores x \in \mathbb{R}^n (ó \mathbb{C}^n) no nulos

- semidefinida positiva si x^{*} M x \geq 0 para todo x \in \mathbb{R}^n (ó \mathbb{C}^n)

- semidefinida negativa si x^{*} M x \leq 0 para todo x \in \mathbb{R}^n (ó \mathbb{C}^n)

Una matriz hermitiana se dice indefinida si no entra en ninguna de las clasificaciones anteriores.

[editar] Caso no hermitiano

Una matriz real M puede tener la propiedad xTMx > 0 para todo vector real no nulo sin ser simétrica. La matriz

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

es un ejemplo. En general, tendremos xTMx > 0 para todo vector real no nulo x si y sólo si la matriz simétrica (M + MT) / 2, es definida positiva.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_definida_positiva"
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