Matriz de Gram

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En álgebra lineal, la matriz de Gram de un conjunto de vectores v_1,\dots, v_n en un espacio prehilbertiano, es la matriz que define el producto escalar, cuyas entradas vienen dadas por G_{ij}=(v_i|v_j). Debe su nombre al matemático danés Jørgen Pedersen Gram.

Propiedades[editar]

Una matriz de Gram, G, es una matriz cuadrada que cumple las siguientes propiedades:

g_{ij}=g_{ji}^{*}

En en caso que los vectores sean reales, la matriz de Gram es simétrica.

g_{ij}=g_{ji}
|G_i|>0 \quad i=1,\dots ,n; \text{ siendo } 
G_i=\begin{pmatrix}
g_{11} & \cdots & g_{1i} \\
\vdots & \ddots & \vdots\\
g_{i1} & \cdots & g_{ii} \\
\end{pmatrix}

Aplicaciones[editar]

Una de las aplicaciones más importantes de dicha matriz es la comprobación de la independencia lineal: un conjunto de vectores será linealmente independiente si y sólo si el determinante de Gram no es nulo.


Determinante de Gram[editar]

El determinante de Gram o gramiano \scriptstyle G(x_1,\dots, x_n) de n-vectores es el determinante de la matriz formada por los n2 productos escalares formados con esos vectores:

G(x_1,\dots, x_n)=\begin{vmatrix} (x_1|x_1) & (x_1|x_2) &\dots & (x_1|x_n)\\
(x_2|x_1) & (x_2|x_2) &\dots & (x_2|x_n)\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
(x_n|x_1) & (x_n|x_2) &\dots & (x_n|x_n)\end{vmatrix}

Numéricamente, el determinante de Gram coincide con el volumen al cuadrado del paralelepípedo formado por los vectores. En particular, los vectores son linealmente independientes si y sólo si el determinante de Gram no es nulo (es decir, si la matriz de Gram es invertible).

Ejemplos[editar]

Normalmente, los vectores son elementos de un espacio euclídeo, o funciones de un espacio L^2, tales como funciones continuas en un intervalo cerrado [a,b] (que es un subespacio de L^2([a,b])).

Dada una función de variable real \{l_i(\cdot),\,i=1,\dots,n\} definida en el intervalo [t_0,t_f], la matriz de Gram G=[G_{ij}], se define como el producto escalar estándar de funciones: G_{ij}=\int_{t_0}^{t_f} l_i(\tau)l_j(\tau)\, d\tau .

Dada una matriz A, la matriz A^{\mathrm{T}}A es la matriz de Gram de las columnas de A, mientras que la matriz AA^{\mathrm{T}} es la matriz de Gram de las filas de A.

Para una forma bilineal B definida en un espacio vectorial de dimensión finita, se define la matriz de Gram G asociada a un conjunto de vectores v_1,\dots, v_n, como G_{i,j} = B(v_i,v_j) \, . Dicha matriz sería simétrica si la forma bilineal B lo fuera.

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