Forma cuadrática

Una forma cuadrática o forma bilineal simétrica es una aplicación matemática que asigna a cada elemento de un espacio vectorial $\scriptstyle x \,$ un número real, de una manera que generaliza la operación $\scriptstyle ax^2 \,$ un espacio vectorial de dimensión superior a 1.

Definición formal

Una forma cuadrática es una aplicación $\omega \,$ del espacio vectorial E en el cuerpo K, que cumple las siguientes condiciones equivalentes:

a) Existe una forma bilineal simétrica $\scriptstyle f(\cdot,\cdot) \,$ de $\scriptstyle E \times E \,$ en el cuerpo $\scriptstyle \mathbb{K} \,$ tal que $\scriptstyle \omega(x) = f(x,x) \,$. A $\scriptstyle f(\cdot,\cdot) \,$ se le llama forma polar de $\scriptstyle \omega \,$.

b) $\scriptstyle \omega(lx) = l^{2}\omega(x) \,$, $\scriptstyle \forall l \in K, \forall x \in E \,$. Además $\scriptstyle f(x,y) = (\omega(x+y) - \omega(x) - \omega(y)) / 2 \,$ es una forma bilineal simétrica definida en $\scriptstyle E \times E \,$ y con valores en $\scriptstyle \mathbb{K} \,$. A $\scriptstyle \omega \,$ se la llama forma cuadrática asociada a $\scriptstyle f(\cdot,\cdot) \,$.

Una forma cuadrática es por tanto un aplicación $\scriptstyle f(x,x)=x\ B\ x \,$ que es un polinomio de segundo grado con varias variables. Se le puede considerar un caso específico de forma bilineal.

Propiedades y ejemplos

• Cuando $\scriptstyle K=\mathbb{R} \,$ se dice que la forma cuadrática es real.
• Dos formas cuadráticas pueden ser:
  • Linealmente equivalentes en $\scriptstyle \R \,$ si las signaturas de ambas formas cuadráticas coinciden.
  • Linealmente equivalentes en $\scriptstyle \mathbb{C} \,$ si los rangos de las matrices de las formas cuadráticas coinciden.
  • Métricamente equivalentes si poseen el mismo polinomio característico.
• Una forma cuadrática define un espacio vectorial euclídeo si y sólo si es definida positiva, lo cual se puede comprobar utilizando el criterio de Sylvester.

Signatura

La signatura de una forma cuadrática $\scriptstyle q: V \to \R \,$ se llama al par $\scriptstyle (p,m) \,$ donde $\scriptstyle p \,$ es el número de elementos positivos que posee la diagonal de la matriz diagonal asociada a $\scriptstyle q \,$ y $\scriptstyle m \,$ los negativos. Se designa $\scriptstyle sg(q) \,$ y se verifica:

$p - m = \text{sg}(q) \,$

Forma cuadrática definida

Se dice que una forma cuadrática $q :V \to \mathbb R$ es definida si para todo $0\neq x \in V$ se verifica:

$q(x)=b_p(x,x)\neq 0$

siendo $b_p$ la forma polar de la forma cuadrática.

En el caso antes mencionado, si una forma cuadrática es definida entonces:

• o es definida positiva $q(x)>0 \quad\forall x\in V \quad 0\neq x$
• o es definida negativa $q(x)<0 \quad\forall x\in V \quad 0\neq x$

Demostración

Se procederá por reducción al absurdo. Supongamos que q es definida y que existen q(x)<0 y q(y)>0 y se busca $q(\lambda x+y)=0$, $\lambda\in\mathbb R$ Desarrollando se tiene: $\ q(ax+y)=\lambda^2q(x)+2\lambda b_p(x,y)+q(y)$ Despejando $\lambda=-b_p(x,y)\pm \sqrt{b_p(x,y)^2-q(x)q(y)}$ Como q(x)<0 y q(y)>0 el discriminante es positivo y existe solución distinta de la trivial que verifica $q(\lambda x+y)=0$ con lo que se llega a un absurdo pues se supuso que la forma cuadrática era definida.

Una forma cuadrática es definida positiva (negativa) si todos los autovalores de su matriz asociada son positivos (negativos)

Demostración

Sea A la matriz asociada a la forma polar de la forma cuadrática. Entonces $q(x)=x^t A x$ Dado que A es una matriz simétrica existe una base de autovectores ortogonales $\{e_i\}$ con autovalores $\{ \lambda_i \}$. En la base de autovectores se tiene $x=\sum_i c_i e_i$ Operando (omitiendo sumatorios): $q(x)=x^t A x=c_j e_j \lambda_i c_i e_i=\lambda_i c_i c_j \delta_i^j=\lambda_i c_i^2$ Que es positivo (negativo) en general si y solo si $\lambda_i>(<)0\quad \forall i$

Representación gráfica

El caso de que $\scriptstyle V = \R^{2} \,$, una forma cuadrática, puede representarse por un conjunto de cónicas. Si la signatura de la forma cuadrática es 2, entonces las curvas serán un conjunto de elipses, si la signatura es 1 será un conjunto de parábola y si la signatura es 0 entonces será un conjunto de hipérbolas.

A todos los vectores cuyo extremo caiga sobre la misma curva cuadrática se les asignará el mismo valor numérico.

Acotación de una forma cuadrática

Sea la forma cuadrática $Q: \, \Re^{n} \to \Re$ definida por $Q(x) = x^{T}Ax \,$, con $A \in \Re^{n \times n}$ simétrica. Esta matriz es diagonalizable ortogonalmente siempre.

Si pensamos en la factorización $A = P \Delta P^{T} \,$ con $P \in \Re^{n \times n}$ una matriz ortogonal compuesta por autovectores de $A \,$ y $\Delta \in \Re^{n \times n} \,$ una matriz diagonal compuesta por los autovalores de $A \,$ en su diagonal, vemos que la forma cuadrática se reduce a:

$Q(x) = x^{T}P \Delta P^{T}x \,$

Si llamamos $y = P^{T}x \,$, entonces tenemos que $y^{T} = \left( P^{T}x \right)^{T} = x^{T}P \,$. Reemplazando en la ecuación anterior tenemos que:

$Q(x) = \hat{Q}(y) = y^{T} \Delta y$

Y sabemos que $\Delta = \operatorname{diag}[ \lambda_{1} \quad \cdots \quad \lambda_{n}]^{T}$, con $\lambda_{i}, \,\, 1 \le i \le n$ autovalor de $A \,$. Por lo que si el cambio de variables propuesto es tal que $y = [y_{1} \quad \cdots \quad y_{n}]^{T}$ tenemos que:

$\hat{Q}(y) = \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i}y_{i}^{2}$

A este tipo de forma cuadrática se la llama "forma cuadrática sin productos cruzados".

Sean, $\lambda_{1} \ge \cdots \ge \lambda_{n} \,$ los autovalores de $A \,$ ordenados de forma decreciente. Es decir, $\lambda_{\rm max} = \lambda_{1} \quad \wedge \quad \lambda_{\rm min} = \lambda_{n}$. Entonces tenemos que:

$\hat{Q}(y) = \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i}y_{i}^{2} \quad \le \quad \lambda_{\rm max} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2}$

$\hat{Q}(y) = \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i}y_{i}^{2} \quad \ge \quad \lambda_{\rm min} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2}$

Por otro lado, observando bien el siguiente término, nos damos cuenta de que $\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} = \|y\|^{2} \,$. Por lo tanto:

$\lambda_{\rm min}\|y\|^{2} \quad \le \quad \hat{Q}(y) \quad \le \quad \lambda_{\rm max}\|y\|^{2}$

Pero una de las propiedades fundamentales de las matrices ortogonales es que conservan el producto interno, pues en particular $\|y\|^{2} = (y, y) = \left( P^{T}x, P^{T}x \right) = \left( P^{T}x \right)^{T} P^{T}x = x^{T}PP^{T}x = x^{T}x = \|x\|^{2}$. Entonces, finalmente tenemos que

$\lambda_{\rm min}\|x\|^{2} \quad \le \quad Q(x) \quad \le \quad \lambda_{\rm max}\|x\|^{2}$

Y ocurre que $Q(x) = \lambda_{\rm min}\|x\|^{2} \,$ cuando el vector $x \in S_{\lambda_{\rm min}}$ y también $Q(x) = \lambda_{\rm max}\|x\|^{2} \,$ cuando el vector $x \in S_{\lambda_{\rm max}}$, siendo $S_{\lambda_{\rm max}}$ y $S_{\lambda_{\rm min}}$ los autoespacios asociados a los autovalores máximo y mínimo respectivamente.

Referencias

• Luis Merino, Evangelina Santos: Álgebra lineal con metodos elementales