Matriz traspuesta conjugada

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En matemáticas, la matriz transpuesta conjugada, matriz adjunta o simplemente adjunta de una matriz A es una matriz A+ (también denotada como A^*, o como AH) obtenida de A mediante la obtención de su transpuesta y después de su conjugada compleja.

El traspuesto conjugado de una matriz A=(a_{ij})\in\mathbb{C} es definido como A^*=(\bar a_{ji}), el traspuesto de A y todas las posiciones  a_{ij} conjugadas. Nota que si A=(a_{ij})\in\mathbb{R} \Rightarrow A^*=A^T, es decir el traspuesto pues todas las posiciones son reales y tenemos el caso real. También nombrado hermitiano adjunto, la hermítica o hermitiano conjugado. El nombre viene del matemático Charles Hermite.

Definición[editar]

Si \mathbf{A} es una matriz de n x m sobre los complejos: A\in M_{n\times m}(\mathbb{C}) de la forma:


\mathbf{A} = 
\begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} & . & . & .& a_{1m}\\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} & . & . & .& a_{2m}\\
  a_{31} & a_{32} & a_{33} & . & . & .& a_{3m}\\
. & . & . & . & . & .& .\\
. & . & . & . & . & .& .\\
. & . & . & . & . & .& .\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & . & . & .& a_{nm}\\
\end{pmatrix}

Entonces la adjunta se obtiene tomando el complejo conjugado de cada elemento y después permutando de filas por columnas o viceversa en la matriz \mathbf{A}, produce a la matriz traspuesta:


\mathbf{A}^+ = 
\begin{pmatrix}
  \bar{a}_{11} & \bar{a}_{21} & \bar{a}_{31} & . & . & .& \bar{a}_{n1}\\
  \bar{a}_{12} & \bar{a}_{22} & \bar{a}_{32} & . & . & .& \bar{a}_{n2}\\
  \bar{a}_{13} & \bar{a}_{23} & \bar{a}_{33} & . & . & .& \bar{a}_{n3}\\
  . & . & . & . & . & .& .\\
  . & . & . & . & . & .& .\\
  . & . & . & . & . & .& .\\
  \bar{a}_{1m} & \bar{a}_{2m} & \bar{a}_{3m} & . & . & .& \bar{a}_{nm}\\
\end{pmatrix}

Ejemplo[editar]

Una matriz A= \begin{pmatrix} 2i & 6-i \\ 3+i & 4 \end{pmatrix} tiene el traspuesto conjugado A^*= \begin{pmatrix} -2i & 3-i \\ 6+i & 4 \end{pmatrix}

Propiedades[editar]

Una matriz cuadrada \mathbf{A}^+ será una matriz autoadjunta, si y solo sí, n = m y \mathbf{A}^+ = \mathbf{A}. Sean además A y B matrices apropiadas para las siguientes operaciones, a partir de la definción se tienen las siguientes propiedades:

  1. (A^+)^+ = A, idempotencia.
  2. (A+B)^+ = A^+ + B^+, adición de matrices.
  3. \forall r\in \mathbb{C},\quad (rA)^+ = r^* A^+, producto por escalares.
  4. (AB)^+ = B^+A^+, inversión de la multiplicación
  5. (A^{-1})^+ = (A^+)^{-1} si la matriz es invertible.