Monoide

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En álgebra abstracta, un monoide es una estructura algebraica con una operación binaria, que es asociativa y tiene elemento neutro, es decir, es un semigrupo con elemento neutro.

Definición formal[editar]

Un monoide  (A,\circ) es una estructura algebraica en la que  A \, es un conjunto y  \circ es una operación binaria interna en  A \, que cumple las siguientes tres propiedades (la primera es redundante con la definición):

  1. Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo  \circ , el resultado siempre pertenece al mismo semigrupo A. Es decir:
    
   \forall x, y \in A : \quad
    x \circ y \in A
  2. Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:
    
   \forall x, y, z \in A: \quad
   x \circ (y \circ z) =
   (x \circ y) \circ z \;
  3. Elemento neutro: existe un (único) elemento, e, en A que es neutro de la operación \circ, es decir:
    
   \exists \, e \in A: \quad
   \forall x \in A : \quad
   e \circ x = x \circ e = x

Es fácil demostrar que el elemento neutro es necesariamente único por lo que es redundante exigir su unicidad en este axioma o propiedad. En esencia, un monoide es un semigrupo con elemento neutro.

Conmutatividad[editar]

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna  \circ si:


   \forall a, b \in A: \quad
   a \circ b =
   b \circ a \;

Se dice que es un monoide conmutativo o abeliano.

Sintéticamente[editar]

Un monoide es un conjunto no vacío K, con una ley de composición asociativa y que posee un elemento neutro.[1] El conjunto numérico más antiguo ℕ = {0, 1. 2,...} con la adición es un monoide.

Ejemplos[editar]

Concatenación de cadenas alfanuméricas[editar]

Definimos el conjunto A de las cadenas alfanuméricas, cada una de las cuales es una secuencia de letras y números de cualquier longitud, que representaremos:

 \langle abcd \rangle
 \langle aju73fr5 \rangle

La cadena vacía, la que no tiene ningún carácter, sería:

 \langle \rangle

Definimos la operación  \shortparallel de concatenación de cadenas de caracteres:

 A \shortparallel A \to A

que podemos representar, de las siguientes formas:

  • 
   \langle asd \rangle \shortparallel
   \langle rfv \rangle \; \to \;
   \langle asdrfv \rangle
  • 
   \langle 1234 \rangle \shortparallel
   \langle ju \rangle \; \to \;
   \langle 1234ju \rangle

podemos ver que  ( A , \shortparallel ) tiene estructura algebraica de monoide:

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos cadenas su concatenación es una cadena alfanumérica:


   \forall a, b \in A : \quad
   a \shortparallel b \in A
.

2.- Es asociativa:


   \forall a, b, c \in A: \quad
   a \shortparallel (b \shortparallel c) =
   (a \shortparallel b) \shortparallel c \;

3.- Tiene elemento neutro: para todo elemento a cadena de caracteres, existe la cadena vacía  \langle \rangle de A, de modo:


   \forall a \in A : \quad
   \exists \, \langle \rangle : \quad
   \langle \rangle \shortparallel a = a \shortparallel \langle \rangle = a

La concatenación de cadenas de caracteres es conmutativa sólo para algunos elementos, no en todos. La propiedad conmutativa (para todos los elementos):


   \forall a, b \in A: \quad
   a \shortparallel b = b \shortparallel a \;

no se cumple si el alfabeto o conjunto de caracteres, A, tiene más de un elemento. Por lo que ( A , \shortparallel ) tiene, en general, estructura algebraica de monoide no conmutativo.

Multiplicación de números naturales[editar]

Partiendo del conjunto de los números naturales:


   N = \{ 1, 2, 3, 4, \dots \} \,

y la operación multiplicación, podemos ver que:  (N , \times ) es un monoide

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos números naturales su multiplicación es un número natural:


   \forall a, b \in N : \quad
   a \times b \in N
.

2.- Es asociativa:


   \forall a, b, c \in N: \quad
   a \times (b \times c) =
   (a \times b) \times c \;

3.- Tiene elemento neutro: el 1 en N, es neutro para todos los números naturales ya que cumple:


   \exists \, 1 \in N: \quad
   \forall a \in N : \quad
   1 \times a = a \times 1 = a

4.- La multiplicación de números naturales es conmutativa:


   \forall a, b \in A: \quad
   a \times b =
   b \times a \;

El conjunto de los números naturales, bajo la operación multiplicación:  (N , \times ) , tiene estructura algebraica de monoide conmutativo o abeliano.

En la teoría de categorías[editar]

Una categoría monoidal[cita requerida], es una categoría con una operación binaria que convierte a la categoría en un monoide. Dos ejemplos:

  1. La categoría de conjuntos con la unión disjunta de conjuntos y el conjunto vacío como elemento neutro.
  2. La categoría \mathbf{Vect}_{\mathbb{K}} de los espacios vectoriales sobre un campo \mathbb{K} junto con el producto tensorial de espacios vectoriales y a \mathbb{K} como el elemento neutro.

Referencias[editar]

  1. Álgebra (1971) Lang, Serge, versión española de Milagros Ancoche ISBN 84-03-20216-4; pg.3

Véase también[editar]

Grupo
Monoide
Semigrupo
Magma
Operación matemática
Operación interna
Asociatividad
Elemento neutro
Elemento simétrico

Bibliografía[editar]

  1. Gutiérrez Gómez, Andrés; García Castro, Fernando. Álgebra lineal (2 edición). Ediciones Pirámide, S.A. ISBN 978-84-368-0174-3. 

Enlaces externos[editar]