Grupo (matemática)

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Las posibles manipulaciones del Cubo de Rubik forman un grupo.

En álgebra abstracta, un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. Para que se pueda calificar como un grupo, el conjunto y la operación deben satisfacer algunas condiciones llamadas axiomas de grupo, estas condiciones son: tener la propiedad asociativa, tener elemento identidad y elemento inverso. Mientras que estas características son familiares a muchas estructuras matemáticas, como los diferentes sistemas de números (por ejemplo los enteros dotados de la operación de adición forman una estructura de grupo), la formulación de los axiomas se separa de la naturaleza concreta del grupo y su funcionamiento. Esto permite, en álgebra abstracta y otros campos, manejar entidades de orígenes matemáticos muy diferentes de una manera flexible, mientras se conservan aspectos estructurales esenciales de muchos objetos. La ubicuidad de los grupos en numerosas áreas (tanto dentro como fuera de las matemáticas) los convierte en un principio central en torno al cual se organizan las matemáticas contemporáneas.[1] [2]

Los grupos comparten un parentesco fundamental con la noción de simetría. Un grupo de simetría codifica las características de simetría de un objeto geométrico: consiste en el conjunto de transformaciones que dejan inalterado el objeto, y la operación de combinar dos de estas transformaciones realizando una tras la otra. Tales grupos de simetría, especialmente los grupos de Lie continuos, tienen un papel importante en muchas disciplinas académicas. Los grupos de matrices, por ejemplo, se pueden utilizar para entender las leyes físicas fundamentales en que se basan la relatividad y los fenómenos de simetría en la química molecular.

El concepto de un grupo surgió del estudio de ecuaciones polinómicas, comenzando con Évariste Galois durante los años 1830. Después de contribuciones desde otros campos como la teoría de números y la geometría, la noción de grupo se generalizó y se estableció firmemente en torno a 1870. La moderna teoría de grupos (una disciplina matemática muy activa) estudia los grupos en sí.[nota 1] Con el fin de explorar los grupos, los matemáticos han ideado diversas nociones con tal de dividir grupos en trozos más pequeños, más comprensibles, como subgrupos, grupos cociente y grupos simples. Además de sus propiedades abstractas, los teóricos de los grupos también estudian las maneras en que un grupo se puede expresar en forma concreta (sus representaciones de grupo), tanto desde un punto de vista teórico como de un punto de vista computacional. Una teoría especialmente rica ha desarrollado para grupos finitos, que culminó con la clasificación de los grupos simples finitos completada en 1983.[nota 2] Asimismo, desde mediados de 1980, la teoría de grupos geométricos, que estudia los grupos de generación finita como objetos geométricos, se ha convertido en un área particularmente activa en la teoría de grupos.

Definición e ilustración[editar]

Primer ejemplo: números enteros[editar]

Uno de los grupos más familiares es el conjunto de los números enteros «Z» que consiste en los números:

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...[3]

Las propiedades de la adición de enteros sirven como modelo para los axiomas de grupo abstractos que se dan en la definición más abajo.

  1. Para cualquier par de enteros a y b, la suma a + b es también un entero. En otras palabras, el proceso de adición de dos enteros a la vez nunca puede producir un resultado que no sea un entero. Esta propiedad se conoce como clausura respecto la adición.
  2. Para todos los enteros a, b y c, (a + b) + c = a + (b + c). Expresado en palabras, sumando primero a y b, y entonces sumando el resultado con c da el mismo resultado final que sumando a junto con el resultado de sumar b y c, esta propiedad se conoce como propiedad asociativa.
  3. Si es un entero cualquiera, entonces 0 + a = a + 0 = a. Del cero se deduce el elemento identidad de la adición puesto que al sumarse a cualquier entero da el mismo entero.
  4. Para cada entero a, hay un entero b tal que a + b = b + a = 0. El entero b se denomina elemento inverso del entero a y se expresa como -a.

Los enteros, junto con la operación «+», forman un objeto matemático que pertenece a una clase basta en la que hay otros objetos que comparten aspectos estructurales similares. Para entender apropiadamente estas estructuras sin tratar con cada caso concreto por separado, se desarrolla la definición abstracta siguiente que incluye el ejemplo citado junto con muchos otros, uno de los cuales es el grupo de simetría detallado más abajo.

Definición[editar]

Un grupo es un conjunto, G, conjuntamente con una operación binaria «•» que combina dos elementos cualesquiera a y b de G para formar otro elemento notado en a • b o ab. Para poder calificar como un grupo, el conjunto y la operación (G, •), deben satisfacer cuatro requisitos conocidos como los axiomas de grupo:[4]

Cerradura o Clausura

Para todo a, b ​​de G, el resultado de la operación a • b también pertenece a G.[nota 3]
\forall a, b \in G \quad : \quad a \cdot b \in G

Asociatividad

Para todos a, b y c de G, se cumple la ecuación (a • b) • c = a • (b • c).

Elemento identidad

Existe un elemento e de G, tal que para todos los elementos a de G, se cumpla la ecuación e • a = a • e = a. El elemento de identidad de un grupo G se escribe a menudo como 1 o 1G,[5] una notación heredado de la identidad multiplicativa.
\exist e \forall a \in G \quad : \quad a \cdot e = e \cdot a = a

Elemento inverso

Para todo a de G, existe un elemento b de G tal que a • b = b • a = e.
\exist a^{-1} \forall a \in G \quad : \quad {a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a} = e

El orden en el que se hace la operación de grupo puede ser significativo. En otras palabras, el resultado de operar el elemento a con el elemento b no debe dar necesariamente el mismo que operando b con a; la ecuación

a • b = b • a

puede no ser siempre cierta. Esta ecuación siempre se cumple en el grupo de enteros con la adición, para que a + b = b + a para dos enteros cualesquiera (propiedad conmutativa de la adición). Sin embargo, este grupo de simetría no siempre se cumple como se especificará más abajo. Los grupos para los cuales la ecuación a • b = b • a se cumple siempre se denominan abelianos (en honor a Niels Abel). Así, el grupo de los enteros con la adición es abeliano, pero el grupo de simetría siguiente no lo es.

Segundo ejemplo: un grupo de simetría[editar]

Las simetrías (es decir, las rotaciones y las reflexiones) de un cuadrado forman un grupo llamado diédrico, y se expresa como D4. Un cuadrado tiene ocho simetrías. Estas son:

Group D8 id.svg
id (se mantiene tal y como está)
Group D8 90.svg
r1 (rotación de 90° a la derecha)
Group D8 180.svg
r2 (rotación de 180° a la derecha)
Group D8 270.svg
r3 (rotación de 270° a la derecha)
Group D8 fv.svg
fv (vuelta vertical)
Group D8 fh.svg
fh (vuelta horizontal)
Group D8 f13.svg
fd (vuelta diagonal)
Group D8 f24.svg
fc (vuelta contra diagonal)
Los elementos del grupo de simetría del cuadrado (D4). Los vértices se pintan y se numeran sólo para visualizar las operaciones.
  • La operación identidad que lo deja todo como estaba, se expresa como id.
  • Rotaciones del cuadrado de 90°, 180 ° y 270 ° a la derecha, expresadas con r1, r2 y r3, respectivamente.
  • Reflexiones respecto a los ejes vertical y horizontal (fv y fh), o respecto de las dos diagonales (fd y fc).

Notación[editar]

Es frecuente utilizar a la hora de definir grupos dos notaciones:

  • La notación aditiva.
    • Operación: +, llamada suma.
    • Elemento neutro: 0.
    • Elemento opuesto de un elemento x del grupo: -x.

Históricamente la terminología multiplicativa precedió a la aditiva. La operación de grupo no es necesariamente una adición o una multiplicación en el sentido que nos resulta familiar en la aritmética elemental. Por ejemplo, una operación de grupo puede ser una sustitución o una rotación. Cualquier conjunto de elementos y una operación que a dos elementos asocie una tercera en el conjunto, puede ser un grupo si cumple con las condiciones o propiedades de grupo pedidas. Sus elementos no son siempre números en el sentido ordinario de la aritmética elemental. Asimismo en algunos casos puede ser más cómodo utilizar alguna de las dos notaciones y en otros resulta indiferente. Es posible que se utilicen indistintamente, siempre y cuando esto no mueva a confusión. Cuando se trata de las operaciones familiares de suma y multiplicación, es impropio usar una notación opuesta a la operación.

Tipos de grupos[editar]

  • Grupo abeliano (o conmutativo). Se denomina grupo conmutativo o abeliano a aquel grupo que verifica la Propiedad conmutativa, es decir a \cdot b = b \cdot a\ \forall a,b \in G
    • Grupo abeliano con torsión Definición de torsión: Diremos que un elemento a \in A posee torsión o, que es de torsión, si para algún n \in \mathbb {N}, a^n = 1 . Si a es de torsión, entonces el menor número natural n con la propiedad a^n = 1, coincide con el orden de a. Definición de grupo abeliano con torsión: Un grupo abeliano A se dice con torsión si es igual a 0 o si posee elementos no nulos de torsión.
    • Grupo abeliano de torsión. Un grupo abeliano A se dice de torsión si todo elemento de A es de torsión.
  • Grupo finito. Es un grupo con un número finito de elementos.
  • Grupo de Lie. Es un grupo que además tiene estructura de variedad diferenciable.
  • Grupo cíclico. Es un grupo conmutativo, finito o infinito, que puede ser generado por multiplicación reiterada de un sólo elemento.
  • Grupo libre.
  • Grupos de Klein.

Ejemplos[editar]

  • La suma define estructura de grupo conmutativo en el conjunto de los números enteros (\mathbb{Z}), en el de los números racionales (\mathbb{Q}), en los números reales (\mathbb{R}) y en los números complejos (\mathbb{C}). Los vectores libres del espacio, con la suma de vectores, forman un grupo conmutativo. La suma de matrices define una estructura de grupo conmutativo en las matrices con coeficientes reales (digamos) con un número de columnas y filas prefijado. Las funciones reales de variable real, con la suma de funciones, también forman un grupo conmutativo, al igual que las sucesiones de números reales con la suma de sucesiones.
  • El producto define estructura de grupo conmutativo en los números racionales no nulos, los números reales positivos, los números complejos de módulo 1, etc.
  • Las matrices cuadradas de n columnas con coeficientes reales y determinante distinto de cero forman un grupo con el producto de matrices, grupo que no es conmutativo cuando n>1.

Otros ejemplos de grupos no conmutativos se obtienen al considerar grupos de transformaciones, donde la operación es la composición de aplicaciones y el elemento neutro es la identidad:

Todos estos últimos ejemplos lo son del concepto de Grupo de Lie, que son los grupos definidos por operaciones continuas sobre curvas superficies o variedades de dimensión mayor.

La importancia crucial de la teoría de grupos tanto en Física como en Matemática radica en que los isomorfismos de cualquier estructura, de cualquier teoría, forman siempre un grupo y que, en los casos más importantes, los grupos están clasificados: se conocen listas que agotan todos los que hay. La clasificación de los grupos de Lie, llevada a cabo esencialmente por Élie Cartan, es un punto culminante de la matemática europea, sólo comparable a la construcción de los 5 poliedros regulares realizada por la matemática griega. Al igual que ésta última es la determinación de todas las figuras geométricas simétricas posibles, la clasificación de grupos es la determinación de todas las posibles simetrías de cualquier estructura. Así, podemos conocer a priori los grupos de automorfismos de cualquier teoría geométrica. Además, de acuerdo con el Programa de Erlangen de Felix Klein, este grupo de automorfismos reconstruye la correspondiente teoría geométrica.

Algo parecido sucede en Física, donde se ha descubierto que el grupo de simetrías del lagrangiano de un sistema determina propiedades fundamentales asociadas a las partículas elementales de dicho sistema. De hecho, aunque aún no conozcamos las teorías físicas por venir, la clasificación de grupos de Lie ya nos proporciona la lista de los posibles grupos de simetrías infinitesimales.

Curiosidades[editar]

Un grupo puede tener infinitos elementos, (como Z con la suma, o los números reales no nulos con el producto) o por el contrario tener un número finito de éstos.

Dado un número natural n, los restos que se obtienen al dividir por n (es decir, los números 0, 1, ..., n - 1) forman un grupo, donde la suma a + b es precisamente el resto al dividir la suma ordinaria por n. Este grupo se denota con Z/nZ y se suele llamar grupo de enteros módulo n. Así, el grupo Z/12Z es el que usamos para calcular con las horas de un reloj, y Z/24Z si queremos distinguir las horas de la mañana de la tarde.

Además, en Z/nZ el conjunto de los números primos relativos con n (denotado (Z/nZ)*) forma un grupo cuando la operación ab es el resto al dividir por n el producto usual. Sin embargo, se puede definir un grupo para otros números aunque no sean primos. Por ejemplo, el grupo (Z/12Z)* el cual sólo tiene 4 elementos. ¿Por qué sólo 4 elementos? Porque puesto que para ser un grupo, cada elemento ha de tener un inverso. Si tomamos algún número que tenga algún factor común con 12, por ejemplo el 10, éste no puede ser multiplicado por otro número de forma que el resto de la división entre 12 sea 1. Es decir, 10 no tendría inverso. Así, sólo son elementos del grupo (Z/12Z) aquellos números coprimos con 12. Si n hubiese sido primo, todos los menores que él serían coprimos con él, excepto el cero, luego su grupo tendría n - 1 elementos.

Se dice que un grupo es cíclico si verifica estar generado por un solo elemento; es decir, supongamos que un conjunto A es grupo con respecto a una operación *. Si existe un elemento g en A tal que cualquier otro elemento de A se obtiene operando g o su inverso g-1 reiteradamente:

A=\{ ..., g^{-r}, ..., g^{-1}, g^0=1, g^1=g, g^2, ..., g^r, ...\}=\{g^r|r\in\mathbb{Z}\},

entonces se dice que (A,*) es un grupo cíclico y que g es un generador de A, lo cual se denota por A=<g>.

La clasificación de grupos cíclicos afirma que los finitos son isomorfos a Z/nZ, y los infinitos con Z.

Historia[editar]

La definición de grupo (G, *) usando: la asociatividad, la existencia de elemento neutro , de elemento inverso y la noción de operación binaria, fue formulada por F.G. Frobenius, por primera oportunidad en 1887, advirtiendo que los teoremas que los demostraba dependían únicamente de los axiomas propuestos y sin que tener que acudir al aparato de los grupos de permutaciones, que empleaban sus antecesores Cauchy, Jordan y Sylow.[6]

Véase también[editar]

Grupo
Monoide
Semigrupo
Magma
Operación matemática
Operación interna
Asociatividad
Elemento neutro
Elemento simétrico

Notas[editar]

  1. En Mathematical Reviews salen 3.224 artículos de investigación sobre teoría de grupos y sus generalizaciones escritos durante el año 2005.
  2. La clasificación fue anunciada en 1983, pero las diferencias se encontraron en la prueba. Véase el teorema de clasificación de grupos simples para más información.
  3. El axioma de clausura ya viene implícito por la condición de que • sea una operación. Por eso algunos autores omiten este axioma. Lang 2002.

Fuentes[editar]

Referencias[editar]

  1. (Herstein, 1975, p. §2, p. 26)
  2. (Hall, 1967, p. §1.1, p. 1)
  3. (Lang, 2005, p. Apéndice 2, p. 360)
  4. (Herstein, 1975, p. §2, p. 27)
  5. Weisstein, Eric W. "Identity Element"; extraído de MathWorld.
  6. Introducción a la Teoría de Grupos ( 2009) Zaldívar, Felipe ISBN 978-968-36-3591-4 y otros; pág. 17

Bibliografía[editar]

Referencias generales[editar]

  • Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1 , Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
  • Devlin, Keith (2000), The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible, Owl Books, ISBN 978-0-8050-7254-9 , Chapter 5 provides a layman-accessible explanation of groups.
  • Hall, G. G. (1967), Applied group theory, American Elsevier Publishing Co., Inc., New York , an elementary introduction.
  • Herstein, Israel Nathan (1996), Abstract algebra (3rd edición), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7 .
  • Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in algebra (2nd edición), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing .
  • Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (3rd edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3 .
  • Ledermann, Walter (1953), Introduction to the theory of finite groups, Oliver and Boyd, Edinburgh and London .
  • Ledermann, Walter (1973), Introduction to group theory, New York: Barnes and Noble, OCLC 795613 .
  • Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6 .

Referencias especiales[editar]

Referencias históricas[editar]