Teorema de Lagrange (teoría de grupos)

En la teoría de grupos, el teorema de Lagrange es un resultado importante que relaciona el orden de un grupo finito $G$ con el orden de cualquiera de sus subgrupos. Más precisamente, afirma que si $G$ es un grupo finito y $H$ es un subgrupo de $G$, entonces

(1) $|G|=|H|[G:H],\,\!$

donde $|G|$ y $|H|$ son el orden del grupo $G$ y el orden del subgrupo $H$, en tanto que $[G:H]$ es el índice de $H$ en $G$.

El recíproco del teorema de Lagrange, en general, no se cumple, pues existen grupos de orden $m$ que pueden no tener un subgrupo de orden $n$ a pesar de que $n\mid m$. Por ejemplo, el grupo simétrico $S_4$ tiene orden 24 y no tiene ningún subgrupo de orden 6. En general, los grupos no resolubles son ejemplos en los que el recíproco del teorema de Lagrange no aplica.

Por otra parte, el recíproco del teorema de Lagrange es siempre cierto para el caso de grupos abelianos, y por tanto lo es también para grupos cíclicos.

Demostración

Consideremos inicialmente una relación de equivalencia $\sim_H$ sobre el grupo G, definida como:

$x \sim_H y \Leftrightarrow x^{-1}y \in H, ~ ~ \forall x,y\in G$

Dado que sabemos por hipótesis que G es finito, sabemos que únicamente puede existir un número finito de clases de equivalencia distintas, es decir, el orden de G:H es finito. Se puede demostrar que:

$gH=\{gh : h\in H\}, g\in G$

es la clase de equivalencia para la relación $\sim_H$. Supongamos entonces que las clases de equivalencia distintas son: $~ g_1H, g_2H, \dots, g_mH$. Dado que son distintas y son todas las posibles, G es unión disjunta de estas clases:

$|G|=|g_1H|+|g_2H|+\dots+|g_mH|=\sum_{r=1}^mg_rH, ~~ g_i\in G.$

Sea $H=\{h_1,h_2,\dots,h_n\}\subseteq G$. Fijado un entero $1\leq i\leq m$, de la igualdad $g_ih_j=g_ih_l$ se deduce que $h_j=h_l$. Por tanto, los elementos de la clase $g_iH$ son todos distintos, ya que:

$g_iH=\{g_ih_1,\dots,g_ih_n\}.$

Así, $|g_iH|=|H|$, luego $|G|=m|H|$. Entonces, $|H|$ divide a $|G|$ y de hecho m es el orden de $G:H$, ya que:

$[G:H]=i(H,G)=\frac{|G|}{|H|}=m.$

Por lo tanto:

$|G|=[G:H]|H|=i(H,G)|H|$

quedando con esto demostrado el enunciado del teorema.

Consecuencias

Una consecuencia inmediata del teorema de Lagrange es que todo grupo $G$ de orden primo $p$ es cíclico, pues el orden de un elemento $a$ de $G$ debe dividir $p$, y si dicho elemento es distinto de la identidad de $G$, entonces resulta que el orden de $a$ sólo puede ser $p$, de modo que $a$ es un generador de $G$.

A partir del teorema de Lagrange puede, por ejemplo, demostrarse que si $H,K$ son subgrupos finitos de un grupo $G$, entonces

(2) $|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}$,

donde $HK=\{hk\mid h\in H\ \ \mbox{y}\ \ k\in K\}$ (este conjunto puede no ser un subgrupo de $G$).

El teorema de Lagrange proporciona una forma interesante de demostrar que el orden del grupo simétrico $S_n$ de las permutaciones de $n$ símbolos es $n!$ (cf. Serge 2002, p. 13). Además, si $A_n$ es el subgrupo alternante de $S_n$, entonces

$|A_n|=\frac{|S_n|}{2}=\frac{n!}{2},$

pues $[S_n:A_n]=2\,\!$.

Generalización

El teorema de Lagrange es en realidad un caso especial del hecho siguiente:

Si $H$ y $K$ son dos subgrupos de un grupo $G$, siendo $K$ a su vez un subgrupo de $H$, entonces

(3) $[G:K]=[G:H][H:K].\,\!$

En este caso $G$ y los subgrupos $H,K$ pueden ser infinitos. Así, el teorema de Lagrange se convierte en un caso particular de este hecho, pues (1) resulta de tomar $K$ como el subgrupo trivial de $G$ en la ecuación (3).

Referencias

1. Serge, L., Algebra. Springer-Verlag, New York, 2002.
2. Rowen, L., Groups, Rings and Fields. A K Peters, Massachusetts, 1994.
3. Grillet, P. A., Abstract Algebra. Springer, New York, 2007.