Grupo resoluble

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Definición[editar]

Un grupo finito G se dice resoluble (o soluble) si existe una cadena finita de subgrupos \{G_i\}_{i=1}^{n}\subset G tal que:

 \{1_G\}=G_0\subseteq G_1 \subseteq \dots \subseteq G_n = G,

donde para cada i=0,1,\dots,n-1 se cumple que:

A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar torre , según Serge Lang.

Otra forma de definir la solubilidad de un grupo es a partir de los subgrupos conmutadores. Definimos  G^{(0)}=G y  G^{(i+1)}=[G_i,G_i] . Tendremos entonces una sucesión decreciente de subgrupos, a la que llamamos serie derivada:

 G=G^{(0)}\supseteq G^{(1)} \supseteq G^{(2)} \dots, donde  G^{(i+1)}\vartriangleleft G^{(i)} para todo i.

El grupo es soluble si existe  n\in\mathbb N tal que  G^{(n)}=\{1_G\} .

Las dos definiciones son equivalentes porque dados un grupo  J y un subgrupo normal  N\vartriangleleft J , se tiene que  J/N es abeliano si y solo si  [J,J]\subseteq N.

Ejemplos[editar]

  • Todo grupo abeliano es resoluble, ya que \{1\}\subseteq G y 1\triangleleft G, dado que x\cdot 1_G\cdot x^{-1} \in\{1_G\} y además G/\{1\}\simeq G, por lo que es abeliano.
  • S_3 es resoluble. Basta ver que 1 \triangleleft A_3\triangleleft S_3 es una torre abeliana, con A_n el grupo alternado para S_n.
  • A_4 es resoluble. Basta ver que 1\triangleleft V\triangleleft A_4, es una torre abeliana de A_4, donde V=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}.
  • S_4 es resoluble. Se puede ver que 1\triangleleft V\triangleleft A_4\triangleleft S_4 es una torre abeliana de S_4.
  • A_5 es un grupo no resoluble, ya que se conoce que A_5 es simple, por lo que la única cadena posible es 1\triangleleft A_5, pero A_5 no es abeliano, dado que (12)(34)(345)\neq (345)(12)(34).

Propiedades[editar]

  • Si  G es soluble y  H\leq G entonces  H es soluble.
  • Si  N\vartriangleleft G verifican que tanto  N como  G/N son solubles entonces G es soluble.
  • De las propiedades anteriores podemos deducir que el producto directo  G\times H es soluble si y solo si  G y  H lo son.

Importancia[editar]

Está ligado a la teoría de Galois y a la resolución de ecuaciones algebraicas. Un teorema importante en ese sentido es:

Un polinomio g sobre K (con característica 0) es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois sobre K es soluble.[1]

Referencias[editar]

  1. http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/teogal1112/capitulo4.pdf , apuntes de la asignatura Álgebra 2, de la Universidad Autónoma de Madrid, escritas por Fernando Chamizo.