Índice (Teoría de grupos)

En álgebra abstracta, el índice de un grupo G en un subgrupo H se refiere al número de elementos que poseen los conjuntos de las clases adjuntas (o laterales), notadas como G:H o bien H:G (según sean a izquierda o a derecha) que quedan definidas mediante las relaciones de equivalencia $\sim_H$ (clase lateral a izquierda) y $_H\sim$ (clase lateral a derecha), dadas por:

• $x \sim_H y \Leftrightarrow x^{-1}y\in H, ~ \forall x,y\in G$

• $x _H\sim y \Leftrightarrow xy^{-1}\in H, ~ \forall x,y\in G$

tal que:

• $G:H = \bigcup_{g\in G} \{gh : h\in H\} = \bigcup_{g\in G} gH$

• $H:G = \bigcup_{g\in G} \{hg : h\in H\} = \bigcup_{g\in G} Hg$

Definición

Sea G un grupo finito y sea $H\subseteq G$ un subgrupo de G. Al número:

$i(H,G)=|H:G|=|G:H|=|G|/|H|,$

se le denomina índice de G en H y se le representa por $i(H,G)$, donde se ha utilizado la notación clásica, |G|, para el orden de un grupo.