Índice (Teoría de grupos)

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En álgebra abstracta, el índice de un grupo G en un subgrupo H se refiere al número de elementos que poseen los conjuntos de las clases adjuntas (o laterales), notadas como G:H o bien H:G (según sean a izquierda o a derecha) que quedan definidas mediante las relaciones de equivalencia \sim_H (clase lateral a izquierda) y  _H\sim (clase lateral a derecha), dadas por:

  •  x \sim_H y \Leftrightarrow x^{-1}y\in H, ~ \forall x,y\in G
  •  x _H\sim y \Leftrightarrow xy^{-1}\in H, ~ \forall x,y\in G

tal que:

  •  G:H = \bigcup_{g\in G} \{gh : h\in H\} = \bigcup_{g\in G} gH


  •  H:G = \bigcup_{g\in G} \{hg : h\in H\} = \bigcup_{g\in G} Hg

Definición[editar]

Sea G un grupo finito y sea H\subseteq G un subgrupo de G. Al número:

i(H,G)=|H:G|=|G:H|=|G|/|H|,

se le denomina índice de G en H y se le representa por i(H,G), donde se ha utilizado la notación clásica, |G|, para el orden de un grupo.