Semigrupo

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

Un semigrupo es un sistema algebraico de la forma  (A,\circ) en la cual A es un conjunto, en donde se ha definido una operación binaria interna  \circ . Un semigrupo cumple las dos siguientes propiedades:


1.- Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo  \circ , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:


   \forall x, y \in A : \quad
    x \circ y \in A
.


2.- Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:


   \forall x, y, z \in A: \quad
   x \circ (y \circ z) =
   (x \circ y) \circ z \;
.

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna  \circ si:


   \forall a, b \in A: \quad
   a \circ b =
   b \circ a \;

Se dice que es un semigrupo conmutativo o abeliano.

Ejemplos[editar]

Un ejemplo de semigrupo conmutativo es el conjunto de los números naturales, N con la operación suma, +. Que se representa:  (N,+) \, . Podemos ver que '+' es:

Una operación interna, dado que la suma de dos números naturales es otro número natural:


   \forall a, b \in N : \quad
    a + b \in N
.

Una operación asociativa:


   \forall a, b, c \in N: \quad
   (a + b) + c =
   a + (b + c) \;
.

Y conmutativa:


   \forall a, b \in N : \quad
    a + b =
    b + a
.

Luego  (N,+) \, es semigrupo conmutativo o abeliano.

Otros ejemplos son los formados por el conjunto Z+ de los enteros positivos junto con una cualquiera de las siguientes operaciones:

  • la multiplicación
  • la obtención del m.c.d.
  • la obtención del m.c.m.

Estos tres son semigrupos abelianos, vid. Lecciones de álgebra moderna de P. Dubreil et al.

  • Consideremos el conjunto potencia de A, P(A) = {X/ X⊂ A}; P(A) tanto con la unión cuanto la intersección de conjuntos es un semigrupo con unidad.[1] Unidad para la unión es el conjunto vacío; y en este ejemplo, la unidad para la intersección será el conjunto A.

Véase también[editar]

Grupo
Monoide
Semigrupo
Magma
Operación matemática
Operación interna
Asociatividad
Elemento neutro
Elemento simétrico

Referencias[editar]

  1. Schaumm: "Algebra moderna"