Función compuesta

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g  f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g  f)(a)=@.

En álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Usando la notación matemática, la función compuesta gf: XZ expresa que (gf)(x) = g(f(x)) para todo x perteneciente X.

A gf se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

Definición[editar]

De manera formal, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (gf ): XZ como (gf)(x) = g (f(x)), para todos los elementos de X.


\begin{array}{ccccc}
X & \rightarrow & Y & \rightarrow & Z\\
x & \mapsto & f(x) & \mapsto & g(f(x))
\end{array}

También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo:

Commutative diagram for morphism.svg

Propiedades[editar]

  • La composición de funciones es asociativa, es decir:

h\circ (g \circ f) = (h\circ g) \circ f

  • La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

(g \circ f) \neq (f\circ g)

Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².
  • La composición de una función y su reciproco es:

 f \circ f^{-1} = identidad

Por ejemplo dadas las funciones: f(x)=2x+3 y su reciproco f^{-1}(x) = (x-3)/2 tenemos

 f(x) \circ f^{-1}(x) = f(f^{-1}(x))= 2((x-3)/2)+3 = x

donde tenemos que x= id(x)

Ejemplo[editar]

Sean las funciones:

 f(x) = x^2 \,
 g(x) = \sin(x) \,

La función compuesta de g y de f que expresamos:

 (f \circ g)(x) = f(g(x)) = (\sin(x))^2 = \sin^2 (x) \,

La interpretación de (fg) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso

 z = g(x)=\sin(x) \,

y después aplicamos f a z para obtener

 y = f(z) = z^2 = \sin^2(x) \,

Función bien definida[editar]

La función compuesta está bien definida porque cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:dxf

  1. Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y así (gf) cumple la condición de existencia.
  2. Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g( f(x)).

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