Función compuesta

g ∘ f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g ∘ f)(a)=@.

En matemática, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g(f(x)) para todo x perteneciente X.

A g ∘ f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

Definición

De manera formal, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ∘ f ): X → Z como (g ∘ f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de X.

$\begin{array}{ccccc} X & \rightarrow & Y & \rightarrow & Z\\ x & \mapsto & f(x) & \mapsto & g(f(x)) \end{array}$

También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo:

Propiedades

• La composición de funciones es asociativa, es decir:

$h\circ (g \circ f) = (h\circ g) \circ f$

• La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

$(g \circ f) \neq (f\circ g)$

Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².

• La inversa de la composición de dos funciones es:

$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$

Ejemplo

Sean las funciones:

$f(x) = x^2 \,$

$g(x) = \sin(x) \,$

La función compuesta de g y de f que expresamos:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (\sin(x))^2 = \sin^2 (x) \,$

La interpretación de (f ∘ g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso

$z = g(x)=\sin(x) \,$

y después aplicamos f a z para obtener

$y = f(z) = z^2 = \sin^2(x) \,$

Función bien definida

La función compuesta está bien definida porque cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:dxf

1. Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y así (g ∘ f) cumple la condición de existencia.
2. Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g( f(x)).

Enlaces externos

• Composición de funciones (ampliación).
• Weisstein, Eric W. «Composition» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• "Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Composition en PlanetMath