Grupoide

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Introducción[editar]

En matemática, especialmente en categorías y en homotopía, un grupoide es un concepto que, simultáneamente, generaliza grupos, relaciones de equivalencia en conjuntos, y acciones de grupos en conjuntos. Frecuentemente son usados para capturar información acerca de objetos geométricos tales como variedades.

El término "grupoide" también es usado para un magma: un conjunto con cualquier tipo de operación binaria en él. No usaremos ese término para tal concepto en esta enciclopedia.

Definiciones[editar]

Desde un punto de vista categórico, un grupoide es simplemente una categoría en la que todo morfismo es un isomorfismo (esto es, inversible).[1]

Alternativamente es posible dar la siguiente definición equivalente: un grupoide G \rightrightarrows M consiste de

  • Dos conjuntos G^{}, el grupoide y M, la base.
  • s,t:G \to M funciones sobreyectivas. s es llamada proyección origen o fuente y t es llamada la proyección final o destino.
  • Una aplicación 1: M \to G, x \mapsto 1_x, la aplicación de inclusión o identidad.
  • Si  G * G := \{(\eta,\xi) \in G \times G:t(\xi) = s(\eta) \}, entonces hay una multiplicación parcial G*G \to G que satisface las siguientes condiciones
  • s(hg) = s(g), t(hg) = t(h), para todo (h,g) \in G*G.
  • Asociatividad.
  • s(1_x) = t(1_x) = x, para todo x \in M.
  • g 1_{s(g)} = 1_{t(g)}g = g, para todo g \in G.
  • Para todo g \in G, existe g^{-1} \in G, tal que g^{-1}g = 1_{s(g)} y gg^{-1} = 1_{t(g)}.

Ejemplos[editar]

  • Los grupos son los grupoides con base trivial.
  • Sea M conjunto, G grupo, s: M \times G \times M \to M la proyección a la tercera coordenada, t: M \times G \times M \to M la proyección a la primera coordenada,  1: M \to M \times G \times M dada por  x \mapsto (x,1,x) . La multiplicación parcial e inversa dadas por  (z,h,y)(y,g,x) =  (z,hg,x), \,\,(y,g,x)^{-1} =(x,g^{-1},y) , respectivamente. Esto resulta ser un grupoide que se denota M \times G \times M  \rightrightarrows M y es llamado el grupoide trivial sobre M con grupo G.
  • En topología, el grupoide fundamental de un espacio topológico X \, es el conjunto de clases de homotopía de curvas con la operación yuxtaponer clases (cuando es posible hacerlo). Se lo representa con la expresión \pi_1(X).
Las clases de homotopía son las clases de equivalencia determinadas por la relación de ser homotópicas, es decir, dos curvas \alpha,\beta:[0,1]\to X \, tal que \alpha(0)=\beta(0)\, y \alpha(1)=\beta(1)\,; son homotópicas si existe una aplicación continua H:[0,1]\times [0,1]\to X\, tal que
H(k,0)=\alpha(k) \,, H(k,1)=\beta(k) \,
H(0,r)= \alpha(0)=\beta(0) \,, H(1,r)= \alpha(1)=\beta(1) \,.
En este caso la base es el espacio X \,, las aplicaciones origen y final son el origen y el final de cada curva. La aplicación identidad es 1_x(r) = x, es decir la clase de equivalencia de la curva constante en x y la inversa es recorrer la curva en sentido contrario.
Es claro que el grupoide fundamental incluye a todos los grupos fundamentales y los integra en una sola estructura, que a la postre resulta ser más natural para el estudio de la homotopía.
  • Si X es un conjunto y \simeq es una relación de equivalencia en X, entonces podemos formar un grupoide que representa esta relación de equivalencia como sigue: la base es X, y para cualesquiera dos elementos x,\, y en X, hay un único morfismo desde x hasta y si y sólo si x \simeq y.

Grupoides de Lie y algebroides de Lie[editar]

Al estudiar objetos geométricos, los grupoides que se presentan llevan a menudo alguna estructura diferenciable, convirtiéndose en grupoides de Lie. Éstos se pueden estudiar en términos de los algebroides de Lie, en analogía a la relación entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Paterson, Alan L.T. (1999). Alan L.T. Paterson, ed. Groupoids, Inverse Semigroups, and Their Operator Algebras (en inglés). Berlín: Springer Velag. ISBN 0817640517. 

Enlaces externos[editar]

  • Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, Groupoids.ps o weinstein.pdf
  • Parte VI de Geometric Models for Noncommutative Algebras, por A. Cannas da Silva y A. Weinstein archivo PDF.