Grupoide de Lie

Un grupoide de Lie es un grupoide donde ambos, el grupoide y el espacio base son variedades y las funciones origen y final son funciones diferenciables cuya diferencial es suryectiva, es decir son sumersiones suryectivas. Esta definición generaliza la de grupo de Lie: los grupos de Lie son los grupoides de Lie donde el espacio base es trivial.

Definición

• Un grupoide de Lie es un $G$ grupoide con base $M$ tal que
  • $G$, $M$ son variedades diferenciales.
  • $s,t: G \to M$, las aplicaciones origen y final, son sumersiones sobreyectivas.
  • $1: M \to G$, la aplicación unidad, es diferenciable.
  • La multiplicación $G*G \to G$ es diferenciable.

Observar que si denotamos $\Delta_M$ la diagonal de $M$, entonces $G*G = (s \times t)^{-1}(\Delta_M)$. Como $s \times t$ es una sumersión suryectiva, por el teorema de la función inversa obtenemos que $G*G$ es una subvariedad incrustada y cerrada de $G \times G$ y hereda su estructura diferenciable. Esto nos dice que tiene sentido hablar de que el producto o multiplicación es diferenciable.

Ejemplos

• Sea $(E,q,M)$ un fibrado vectorial y $\Phi(E) := \{\xi: E_x \to E_y / x,y \in M, \xi$ es lineal $\}$, es decir todas las transformaciones lineales entre fibras. Si $\xi: E_x \to E_y \in \Phi$, definimos $s(\xi) = x$, el origen de $\xi$ y $t(\xi)=y$, el destino de $\xi$. Claramente $s,t:\Phi \to M.$ Si $\xi,\eta \in \Phi(E)$, la composición $\eta\xi$ sólo tiene sentido si $t(\xi) = s(\eta)$. Si se define $\Phi(E)* \Phi(E) := \{(\eta,\xi) \in \Phi(E)\times \Phi(E):t(\xi) = s(\eta) \}$ Entonces existe un producto $\Phi(E)* \Phi(E) \to \Phi(E)$ definido como arriba. De esta forma $\Phi(E)$ es un grupoide con base $M$, donde $s,\,t$ son las aplicaciones origen y final, respectivamente y la identidad es el isomorfismo identidad en cada fibra.

• Sea $M$ una variedad diferenciable y $G$ un grupo de Lie. Entonces el grupoide trivial $M \times G \times M \rightrightarrows M$ es un grupoide de Lie.