Grupoide de Lie

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Un grupoide de Lie es un grupoide donde ambos, el grupoide y el espacio base son variedades y las funciones origen y final son funciones diferenciables cuya diferencial es suryectiva, es decir son sumersiones suryectivas. Esta definición generaliza la de grupo de Lie: los grupos de Lie son los grupoides de Lie donde el espacio base es trivial.

Definición[editar]

  • Un grupoide de Lie es un G grupoide con base M tal que
    • G, M son variedades diferenciales.
    • s,t: G \to M, las aplicaciones origen y final, son sumersiones sobreyectivas.
    • 1: M \to G, la aplicación unidad, es diferenciable.
    • La multiplicación G*G \to G es diferenciable.

Observar que si denotamos \Delta_M la diagonal de M, entonces G*G = (s \times t)^{-1}(\Delta_M). Como s \times t es una sumersión suryectiva, por el teorema de la función inversa obtenemos que G*G es una subvariedad incrustada y cerrada de G \times G y hereda su estructura diferenciable. Esto nos dice que tiene sentido hablar de que el producto o multiplicación es diferenciable.

Ejemplos[editar]

  • Sea (E,q,M) un fibrado vectorial y  \Phi(E) := \{\xi: E_x \to E_y / x,y \in M, \xi es lineal \}, es decir todas las transformaciones lineales entre fibras. Si \xi: E_x \to E_y \in \Phi, definimos s(\xi) = x, el origen de \xi y t(\xi)=y, el destino de \xi. Claramente 
s,t:\Phi \to M. Si \xi,\eta \in \Phi(E), la composición \eta\xi sólo tiene sentido si t(\xi) = s(\eta). Si se define  \Phi(E)* \Phi(E) := \{(\eta,\xi) \in \Phi(E)\times \Phi(E):t(\xi) = s(\eta) \} Entonces existe un producto  \Phi(E)* \Phi(E) \to \Phi(E) definido como arriba. De esta forma \Phi(E) es un grupoide con base M, donde s,\,t son las aplicaciones origen y final, respectivamente y la identidad es el isomorfismo identidad en cada fibra.