Propiedades de los números enteros

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El conjunto de los números enteros, provisto de las operaciones de adición y multiplicación forman lo que en álgebra abstracta se conoce como el sistema algraico de anillo.[1]

Estructura de los números enteros[editar]

Los enteros con la adición y la multiplicación forman una estructura algebraica llamada anillo. Pueden ser considerados una extensión de los números naturales y un subconjunto de los números racionales (fracciones). Los números enteros son subconjunto de los números racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede ser considerado como una fracción cuyo denominador es el número uno.

Los números enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y comparados.

Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, (\mathbb{Z},+,\cdot) constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, (\mathbb{Z}, \leq), donde \leq es el orden usual sobre \mathbb{Z}, es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los números enteros se representa mediante \mathbb{Z} (el origen del uso de Z es el alemán Zahl, «número» o «cantidad»).

Construcción formal de los enteros a partir de los naturales[editar]

Un número entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos números naturales. Por ejemplo -3=5-8, de donde puede asociarse el número -3 con el par ordenado (5, 8) de números naturales. Sin embargo, debido a que (4, 7) y una infinidad más de pares ordenados dan como resultado -3 al restar, no puede decirse simplemente que -3=(5, 8). Lo que puede hacerse, es incluir todos los pares ordenados de números naturales, que dan como resultado -3 al restar sus componentes, dentro de un solo conjunto, o, más exactamente, dentro de una clase de equivalencia. Para ello, aprovechamos el que dos pares ordenados (a, b) y (c, d) puedan ser asociados al mismo número entero si:

(1)~a-b=c-d.

El único problema es que la ecuación (1) no está definida en \mathbb{N} cuando a<b. Pero esto se remedia fácilmente, al notar que

~a-b=c-d equivale a ~a+d=b+c

Ciertamente a+b\in\mathbb{N} para cualesquiera a,b\in\mathbb{N}, de tal manera que puede definirse una relación \sim sobre \mathbb{N}\times\mathbb{N} mediante:

(a,b)\sim (c,d)\quad si y solo si ~a+d=b+c

La relación \sim es una relación de equivalencia que produce en \mathbb{N}\times\mathbb{N} una partición en clases de equivalencia, cada una de las cuales puede ser asociada a un único número entero y viceversa. Por ejemplo:

~[(4,7)]=[(2,5)]=[(5,8)]=[(1,4)]=-3

Si admitimos el cero como número natural, podemos definir:

\begin{cases} ~[(n,0)]=n  \\ ~[(0,n)]=-n \end{cases} | info=para todo n\in\mathbb{N}

Si no se acepta el cero como número natural, y se parte, en cambio, del 1, se define entonces

\begin{cases} ~[(n+1,1)]=n  \\ ~[(1,n+1)]=-n \end{cases} | info=para todo n\in\mathbb{N}

Luego el cero puede definirse como:

~0=[(n,n)] | info=para todo n\in \mathbb{N}

El escoger (n,0) y (0,n) (o (n+1,1) y (1,n+1) para cuando no se acepta 0\in\mathbb{N}), para las definiciones anteriores es una decisión completamente arbitraria que toma en cuenta la sencillez de estos pares ordenados. Nótese que, de cualquier forma,

\begin{cases} ~[(n+m,m)]=n  \\ ~[(m,n+m)]=-n \end{cases} | info=para todo n\in\mathbb{N}

Se define pues el conjunto de los números enteros como el conjunto:

(2) \mathbb{Z}=\{[(a,b)]_{\sim}\mid (a,b)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N}\}

de todas las clases de equivalencia producidas por la relación \sim sobre el producto cartesiano \mathbb{N}\times\mathbb{N}. Esto es, \mathbb{Z} es el conjunto cociente:

(3)\mathbb{Z}=\left(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\right) /\sim.

Definición de adición y multiplicación sobre números enteros[editar]

Se define la adición (+) sobre \mathbb{Z} como sigue:

~[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c\ ,\ b+d)] | info=para todo a,b,c,d \in \mathbb{N}

teniendo previamente definida la adición sobre \mathbb{N}. La definición anterior no depende de los representantes a,b,c,d \, escogidos puesto que, por tanto cualesquiera pares iniciales escogidos conducen al mismo resultado:

(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d) \,

La multiplicación (\cdot) sobre \mathbb{Z} se define como sigue:

~[(a,b)]\cdot[(c,d)]=[(ac+bd\ ,\ ad+bc)] | info=para todo n\in \mathbb{N}

teniendo previamente definida la multiplicación sobre \mathbb{N}. La definición anterior está correctamente definida debido a que:

(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc) \,

Propiedades peculiares[editar]

  • En ℤ es posible resolver cualquier ecuación de la forma x + a = b
  • En Z hay una nueva operación ( operación binaria interna) la resta
  • ℤ tiene la misma cardinalidad que los conjuntos ℕ, ℚ, y de los enteros gaussianos y algo más, lo mismo que el conjunto de los números algebraicos[2]
  • El conjunto {0}con la adición es un grupo aditivo
  • El conjunto {1, -1} es un grupo multiplicativo
  • El conjunto de los múltiplos de un número fijo no nulo, diferente de ℤ, con la adición y multiplicación es un anillo conmutativo sin unidad[3]
  • Con los enteros se puede construir una topología cofinita[4]
  • Un número entero es un punto aislado con la topología usual de la recta
  • El cero es el único entero igual a su opuesto ( inverso aditivo)
  • En la recta de los enteros cabe la traslación por el vector (m, n) y la simetría respecto de un centro arbitrario ( cualquier entero).[5]

Vínculo con los números reales[editar]

Si consideramos que el entero positivo 1 es el número real 1 ( identidad multiplicativa) y que 2 = 1 +1, entonces 2 es un número real por ser suma de dos reales; 3 es el real 2 + 1. De este modo cualquier entero positivo n es un real. Identificando el entero 0 con el número real 0 ( identidad aditiva), concluimos que -n es un número real, según el axioma de los opuestos. De tal forma, los enteros son números reales. O bien ℤ ⊂ ℝ.[6]

Referencias[editar]

  1. Lange: "Algebra"
  2. Trejo: "El concepto de número"
  3. Sadosky: "Introducción al álgebra"
  4. Munkres: "Topología"
  5. Trejo y otros: "Matemáticas" cuarto curso
  6. Haaser y otros " Análisis matemático" volumen 1