Topología trivial

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En topología, la topología trivial o topología indiscreta de un conjunto X es aquella formada únicamente por dos subconjuntos: el conjunto vacío y el conjunto X:

\mathcal{T}(X) = \{\varnothing , X \}

Esta topología puede definirse en cualquier conjunto y es la menor topología (esto es, la topología más gruesa) que puede definirse en un conjunto dado.

Un espacio topológico obtenido al considerar la topología indiscreta se denomina espacio indiscreto.

La ausencia de conjuntos abiertos distintos de X indica informalmente que todos los puntos están "amontonados", es decir son indistinguibles topológicamente, lo cual correspondería a una pseudométrica donde las distancias entre cualquier par de puntos es siempre cero.

Propiedades[editar]

  • Como el conjunto vacío y el conjunto total son mutuamente complementarios, los conjuntos cerrados son también \varnothing y X.
  • La única base es {X}.
  • Si X contiene al menos dos puntos, no será posible encontrar un conjunto abierto que contenga a uno de ellos pero no al otro. En particular, no es un espacio T0 y por tanto tampoco podrá ser un espacio Hausdorff.
  • Cualquier subespacio y cualquier espacio cociente de un espacio indiscreto necesariamente serán también espacios indiscretos.
  • El interior de cualquier subconjunto de X es vacío, a no ser que el subconjunto sea el total.
  • La cerradura de cualquier subconjunto no vacío es X.

Véase también[editar]