Entero cuadrático

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En teoría de números, los enteros cuadráticos son una generalización de los enteros racionales a los cuerpos cuadráticos. Entre los ejemplos importantes se incluyen los enteros gaussianos y los enteros de Eisenstein. A pasar de que han sido estudiados durante más de cien años, muchos problemas siguen todavía abiertos.

Definición[editar]

Los enteros cuadráticos son soluciones de la forma:

x2 + Bx + C = 0

para enteros B y C. Tales soluciones tienen la forma a + ωb, donde a, b son enteros, y donde ω está definido mediante:

\omega =
\begin{cases}
\sqrt{D} & \mbox{si }D \equiv 2, 3 \pmod{4} \\
{{1 + \sqrt{D}} \over 2} & \mbox{si }D \equiv 1 \pmod{4}
\end{cases}

(D es un entero libre de cuadrados).

Esta caracterización fue dada por primera vez por Richard Dedekind en 1871.[1] [2] Fijando un entero libre de cuadrados D, el anillo de enteros cuadráticos Z[ω] = {a + ωb : a, bZ} es un subanillo del cuerpo cuadrático \mathbf{Q}(\sqrt{D}). Por otra parte, Z[ω] es la clausura integral de Z en \mathbf{Q}(\sqrt{D}). En otras palabras, es el anillo de enteros \mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{D})} de \mathbf{Q}(\sqrt{D}) y por lo tanto un dominio de Dedekind.

Ejemplos[editar]

Número de clase[editar]

Equipados con la norma

N(a + b\sqrt{D}) = a^2 - Db^2,

\mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{D})} es un dominio euclídeo (y a fortiori, un DFU) donde D = -1, -2, -3, -7, -11.[4] Por otro lado, resulta que \mathbf{Z}[\sqrt{-5}] no es un DFU porque, por ejemplo, 6 tiene dos factorizaciones distintas en elementos irreducibles:

6 = 2(3) = (1 + \sqrt{-5}) (1 - \sqrt{-5}).

(De hecho, \mathbf{Z}[\sqrt{-5}] tiene número de clase 2.[5] ) El fallo de la factorización única permitió a Ernst Kummer y Dedekind desarrollar una teoría que podría ampliar el conjunto de los "números primos"; el resultado fue la noción de ideales y la descomposición de ideales mediante ideales primos.

Siendo un dominio de Dedekind, un anillo de enteros cuadráticos es un DFU si y sólo si éste es un dominio de ideal principal (i.e., si su número de clase es uno.) Sin embargo, hay anillos de enteros cuadráticos que son dominios de ideales principales y no son dominios euclídeos. Por ejemplo, \mathbf{Q}[\sqrt{-19}] tiene número de clase 1 pero su anillo de enteros no es euclídeo.[5] Existen métodos efectivos para calcular grupos de clases ideales de anillos de enteros cuadráticos, pero muchas preguntas teóricas sobre sus estructuras todavía siguen abiertas después de cien años.

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. Dedekind, 1871, Supplement X, p. 447
  2. Bourbaki, 1994, p. 99
  3. Dummit, pg. 229
  4. Dummit, pg. 272
  5. a b Milne, pg. 64

Referencias[editar]