Álgebra sobre un cuerpo

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En matemáticas, un álgebra sobre un cuerpo K, o una K -álgebra, es un espacio vectorial A sobre K equipado con una noción compatible de multiplicación de elementos de A. Una generalización directa admite que K sea cualquier anillo conmutativo. Algunos autores[cita requerida] utilizan el término "álgebra" como sinónimo de "álgebra asociativa".

Definiciones[editar]

Para ser exactos, sea (V_\mathbb{K},+) un espacio vectorial sobre el cuerpo \mathbb{K}, y supongamos que existe una operación binaria definida entre vectores:

(\cdot,\cdot):V_\mathbb{K}\times V_\mathbb{K} \to V_\mathbb{K}

Tal que es bilineal y distributiva respecto a la suma, es decir, tal que para todo u,v,w \in V, \lambda \in \mathbb{K}:

  1. u\cdot(v+w) = u\cdot v + u\cdot w
  2. (v+w)\cdot u = v\cdot u + w\cdot u
  3. u\cdot(\lambda v) = (\lambda u)\cdot v = \lambda (u\cdot v)

Entonces con esta operación, V_\mathbb{K} se convierte en un álgebra sobre \mathbb{K} y \mathbb{K} es el cuerpo base del álgebra \mathcal{A}=(V_\mathbb{K},+,\cdot). La segunda operación se llama "multiplicación". Sin embargo, la operación en varias clases especiales de álgebra toma diversos nombres:

Las álgebras también se pueden definir más generalmente sobre cualquier anillo unitario R: necesitamos un módulo \mathcal{A} sobre A y una operación bilineal de multiplicación que satisfaga las mismas identidades que arriba; entonces \mathcal{A} es una R-álgebra, y R es el anillo bajo \mathcal{A}. Dos álgebras \mathcal{A} y \mathcal{B} sobre \mathbb{K} son isomorfas si existe una K biyección - función lineal f: \mathcal{A} \to \mathcal{B} tal que f (xy) = f(x)f(y) para todo x, y en \mathcal{A}. Para todos los propósitos prácticos, las álgebras isomorfas son idénticas; solamente se diferencian en la notación de sus elementos.

Características[editar]

Para las álgebras sobre un cuerpo, la multiplicación bilineal de \mathcal{A} \times \mathcal{A} a \mathcal{A} es determinada totalmente por la multiplicación de los elementos de la base de A. Inversamente, una vez que ha sido elegida una base para \mathcal{A}, los productos de los elementos de base se pueden fijar arbitrariamente, y entonces extender de una manera única a un operador bilineal en \mathcal{A}, es decir de modo que la multiplicación que resulta satisfaga las leyes del álgebra.

Así, dado el cuerpo K, cualquier álgebra se puede especificar salvo un isomorfismo dando su dimensión (digamos n), y especificar los n3 coeficientes de estructura ci,j,k, que son escalares. Estos coeficientes de estructura determinan la multiplicación en \mathcal{A} vía la regla siguiente:

\mathbf{e}_{i} \mathbf{e}_{j} = \sum_{k=1}^n c_{i,j,k} \mathbf{e}_{k}

Donde e1,...en una base de A. El único requisito en los coeficientes de la estructura es que, si la dimensión n es un número infinito, entonces esta suma debe converger (en cualquier sentido que sea apropiado para la situación). Observe, sin embargo, que diversos conjuntos de coeficientes de estructura pueden dar lugar a álgebras isomorfas.

En física matemática, los coeficientes de estructura se escriben a menudo ci,jk, y se escribe usando el convenio de sumación de Einstein como

ei ej = c i,jk ek.

Si se aplica esto a vectores escritos en notación de índice, entonces se convierte en

(xy)k = c i,j k xi yj.

Si K es solamente un anillo conmutativo y no un cuerpo, entonces lo mismo funciona si \mathcal{A} es un módulo libre sobre K. Si no es, entonces la multiplicación todavía está determinada totalmente por su acción en un conjunto generador de \mathcal{A}; sin embargo, las constantes de estructura no se pueden especificar arbitrariamente en este caso, y saber solamente las constantes de estructura no específica el álgebra módulo isomorfismo.

Clases de álgebra y ejemplos[editar]

Un álgebra conmutativa es una en que la multiplicación es conmutativa; un álgebra asociativa es una en que la multiplicación es asociativa. Éstas incluyen las clases más familiares de álgebra.

Álgebras asociativas[editar]

Entre los ejemplos de álgebra asociativa podemos destacar:

Álgebras no asociativas[editar]

Las clases más conocidas de álgebras no-asociativas son las que son casi asociativas, es decir, en que una cierta ecuación simple obliga las diferencias entre diversas maneras de asociar la multiplicación de elementos. Éstos incluyen:

  • Álgebra de Jordan, para las cuales requerimos (xy)x² = x(yx²) y también xy = yx.
    • Cada álgebra asociativa sobre un cuerpo de característica distinta de 2 da lugar a un álgebra de Jordan definiendo una nueva multiplicación x*y = (1/2)(xy + yx). En contraste con el caso del álgebra de Lie, no toda álgebra de Jordan se puede construir de esta manera. Las que si se pueden se llaman especiales.
  • Álgebras alternativas, para las cuales requerimos que (xx)y =x(xy) y (yx)x = y(xx). Los ejemplos más importantes son los octoniones (un álgebra sobre los reales), y generalizaciones de los octoniones sobre otros cuerpos. (todas las álgebras asociativas son obviamente alternativas.) Salvo isomorfismo las únicas álgebras alternativas reales finito-dimensionales son los reales, los complejos, los cuaterniones y los octoniones.
  • Álgebras potencia-asociativas, para las cuales requerimos que xmxn = xm+n, donde m ≥ 1 y n ≥ 1. (aquí definimos formalmente xn+1 recurrentemente como x (x n).) Los ejemplos incluyen todas las álgebras asociativas, todas las álgebras alternativas, y los sedeniones.

Más clases de álgebra[editar]

  • Las álgebras de división, en las cuales el inverso multiplicativo existe o la división puede ser realizada. Las álgebras finito-dimensionales de división sobre el cuerpo de los números reales se pueden clasificar bien.
  • Álgebras cuadráticas, para las cuales requerimos xx=re + sx, para algunos elementos r y s en el cuerpo de base, y e una unidad para el álgebra. Los ejemplos incluyen todas las álgebras alternativas finito-dimensionales, y el álgebra de las matrices reales 2-por-2. Salvo un isomorfismo las únicas álgebras reales alternativas, cuadráticas sin divisores de cero son los reales, los complejos, los cuaterniones, y los octoniones.

Véase también[editar]