Teorema de Weierstrass

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El Teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo. También se puede enunciar en términos de conjuntos compactos. El teorema establece que una función continua transforma intervalos conexos en intervalos compactos, entendiéndose por intervalo compacto aquel que es cerrado (sus puntos frontera le pertenecen) y acotado.

Enunciado[editar]

Si una función f es continua en un intervalo compacto (cerrado y acotado) [a,b] entonces hay al menos dos puntos x1,x2 pertenecientes a [a,b] donde f alcanza valores extremos absolutos, es decir f(x_1) \le f(x) \le f(x_2), para cualquier x\in [a,b]

Demostración[editar]

Como f([a,b]) está acotada al ser [a,b] un compacto y f una función continua aplicada sobre un compacto, podemos asegurar que existe un supremo finito llamado M. Es necesario encontrar un punto d en [a,b] que satisfaga M = f(d). Digamos que n es un número natural. Como M es supremo, M – 1/n no lo es para f. Entonces, existe un punto dn en [a,b] tal que M – 1/n < f(dn). Esto genera una sucesión {dn} según vamos dando valores naturales a n. Como M es supremo por f, tenemos que M – 1/n < f(dn) ≤ M para todo n natural. Entonces, si hacemos tender n hacia infinito por el criterio de compresión tenemos que {f(dn)} converge a M.

Tenemos una sucesión que converge al supremo del conjunto, ahora hay que ver que precisamente el punto dónde se asume el supremo es el punto d, incluido en el conjunto, y por lo tanto este supremo es un máximo. El Teorema de Bolzano-Weierstrass nos dice que existe una subsucesión {d_{n_k}}, que converge a un punto d y, dado que [a,b] es cerrado, d está en [a,b]. Como f es continua en el conjunto (incluyendo el punto d), la sucesión {f(d_{n_k})} converge a f(d). Pero {f(dnk)} es una subsucesión de {f(dn)} que converge a M, entonces M = f(d), ya que si una sucesión es convergente a un punto cualquier sucesión parcial converge al mismo punto. Por lo tanto, f asume el supremo M en el punto d, y como d es del conjunto es el máximo. 

La demostración para ver que el ínfimo del conjunto [a,b] por f se asume dentro del conjunto y por lo tanto es mínimo es análoga a ésta.

Generalizaciones del Teorema de Weierstrass[editar]

El teorema de Weierstrass sigue siendo válido para funciones definidas sobre un espacio topológico con valores en los números reales. En este caso el teorema se puede enunciar como sigue:

Sea (X,\tau) un espacio topológico y K\subseteq X un conjunto compacto. Si  f: K\rightarrow \mathbb{R} es una función continua entonces existen x_{1},x_{2}\in K tales que f(x_{1})\leq f(x) \leq f(x_{2}) para cualquier x\in K.

El hecho clave en la demostración de esta versión del teorema esta en que las funciones continuas envían conjuntos compactos en conjuntos compactos.


También se puede generalizar el teorema a funciones con codominio distinto de \mathbb{R}, en este caso el teorema se enuncia de la siguiente forma:

Sea (V,|| \cdot ||) un espacio vectorial normado, (X,\tau) un espacio topológico y K\subseteq X un conjunto compacto. Si  f: K\rightarrow V es una función continua entonces existen x_{1},x_{2}\in K tales que ||f(x_{1})||\leq||f(x)||\leq ||f(x_{2})|| para cualquier x\in K.

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