Extremos de una función

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Contenido

1 Extremos relativos o locales
2 Extremos absolutos
3 Cálculo de extremos locales
4 Ejemplo
5 Véase también

[editar] Extremos relativos o locales

Sea $f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R}$ , sea $x_0 \in A$ y sea $P\,(x_0, f(x_0))$ un punto perteneciente a la función.

Se dice que $p$ es un máximo local de $f$ si existe un entorno reducido de centro $x 0$ , en símbolos $E'(x 0)$ , donde para todo elemento $x$ de $E'(x 0)$ se cumple $f(x) \le f(x_0)$ . Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse $f (x) < f (x 0)$ .

Análogamente se dice que el punto $p$ es un mínimo local de $f$ si existe un entorno reducido de centro $x 0$ , en símbolos $E'(x 0)$ , donde para todo elemento $x$ de $E'(x 0)$ se cumple $f(x) \ge f(x_0)$ .

[editar] Extremos absolutos

Sea $f(x): A\sub\mathbb{R} \longmapsto \mathbb {R}$ , sea $x_0 \in A$ y sea $P\,(x_0, f(x_0))$ un punto perteneciente a la función.

Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de $x 0$ pertenenciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de $x 0$ . Esto es:

$P\,(x_0, f(x_0))$ máximo absoluto de $f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \ge f(x)$ .

Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de $x 0$ pertenenciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de $x 0$ . Esto es:

$P\,(x_0, f(x_0))$ mínimo absoluto de $f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \le f(x)$ .

[editar] Cálculo de extremos locales

Dada una función suficientemente derivable $f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R}$ , definida en un intervalo abierto de $\mathbb {R}$ , el procedimiento para hallar los extremos de esta función es muy sencillo:

Se halla la primera derivada de $f \rightarrow f'\,(x)$
Se halla la segunda derivada de $f \rightarrow f''\,(x)$
Se iguala la primera derivada a 0: $f\,'(x) = 0$
Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: $x = \big\{x_1, x_2,..., x_n / f'(x_i)= 0 \quad \forall i = 1,2,...,n \big\}$ .
Se halla la imagen de cada $x_i\,$ sustituyendo la variable independiente en la función.
Ahora, en la segunda derivada, se sustituye cada :
1. Si $f''\,(x_i) < 0$ , se tiene un máximo en el punto $M\, (x_i, f(x_i))$ .
2. Si $f''\,(x_i) > 0$ , se tiene un mínimo en el punto $m\, (x_i, f(x_i))$ .
3. Si , debemos sustituir en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
  1. Si la derivada es par, se trata de un extremo local; un máximo si $f^n\,(x_i) < 0$ y un mínimo si $f^n\,(x_i) > 0$
  2. Si la derivada no es par, se trata de un punto de inflexión, pero no de un extremo.