Extremos de una función

Extremos de una función.

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto). De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

Extremos relativos o locales

Sea $f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R}$, sea $x_0 \in A$ y sea $P\,(x_0, f(x_0))$ un punto perteneciente a la función.

 

Se dice que $p$ es un máximo local de $f$ si existe un entorno reducido de centro $x_0$, en símbolos ${E'(x_0)}$, donde para todo elemento $x$ de ${E'(x_0)}$ se cumple $f(x) \le f(x_0)$. Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse $f(x) < f(x_0)$.

Análogamente se dice que el punto $p$ es un mínimo local de $f$ si existe un entorno reducido de centro $x_0$, en símbolos ${E'(x_0)}$, donde para todo elemento $x$ de ${E'(x_0)}$ se cumple $f(x) \ge f(x_0)$.

Extremos absolutos

Sea $f(x): A\sub\mathbb{R} \longmapsto \mathbb {R}$, sea $x_0 \in A$ y sea $P\,(x_0, f(x_0))$ un punto perteneciente a la función.

 

Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de $x_0$ pertenenciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de $x_0$. Esto es:

$P\,(x_0, f(x_0))$ máximo absoluto de $f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \ge f(x)$.

 

Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de $x_0$ pertenenciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de $x_0$. Esto es:

$P\,(x_0, f(x_0))$ mínimo absoluto de $f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \le f(x)$.

Cálculo de extremos locales

Dada una función suficientemente derivable $f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R}$, definida en un intervalo abierto de $\mathbb {R}$, el procedimiento para hallar los extremos de esta función es muy sencillo:

1. Se halla la primera derivada de $f \rightarrow f'\,(x)$
2. Se halla la segunda derivada de $f \rightarrow f''\,(x)$
3. Se iguala la primera derivada a 0: $f\,'(x) = 0$
4. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: $x = \big\{x_1, x_2,..., x_n / f'(x_i)= 0 \quad \forall i = 1,2,...,n \big\}$.
5. Se halla la imagen de cada $x_i\,$sustituyendo la variable independiente en la función.
6. Ahora, en la segunda derivada, se sustituye cada $x_i\,$:
   1. Si $f''\,(x_i) < 0$, se tiene un máximo en el punto $M\, (x_i, f(x_i))$.
   2. Si $f''\,(x_i) > 0$, se tiene un mínimo en el punto $m\, (x_i, f(x_i))$.
   3. Si $f''\,(x_i) = 0$, debemos sustituir $x_i\,$ en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que $x_i\,$ no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
      1. Si la derivada es par, se trata de un extremo local; un máximo si $f^n\,(x_i) < 0$ y un mínimo si $f^n\,(x_i) > 0$
      2. Si la derivada no es par, se trata de un punto de inflexión, pero no de un extremo.

Ejemplo

Sea $f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x -30 \,$.

Hallar sus extremos locales y sus puntos de inflexión.  

Dada la función $f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x - 30 \,$, se tiene que:

$f'\,(x) = 3x^2 -24x + 45$

$f''\,(x) = 6x - 24$

$f'''\,(x) = 6$

• Extremos:

$f'\,(x) = 3x^2 - 24x + 45 = 0 \iff x \in \big\{3, 5\big\}$

$f''\,(3) = 6 \cdot 3 - 24 = -6 < 0 \Rightarrow$ existe un máximo en $M\,(3, f(3)) \rightarrow M\,(3, 24)$.

$f''(5) = 6 \cdot 5 - 24 = 6 > 0 \Rightarrow$ existe un mínimo en $m\,(5, f(5)) \rightarrow m\,(5, 20)$.

• Puntos de inflexión

$f''(x) = 6x - 24 = 0 \iff x = 4$.

$f'''(4) = 6 \ne 0 \Rightarrow$ existe un punto de inflexión en $P\,(4, f(4)) \rightarrow P\,(4, 22)$.

Extremos condicionados

Un problema de extremos condicionadode Lagrange|método de los multiplicadores de Lagrange]].

Véase también

• Criterio de la derivada de mayor orden