Extremos de una función

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Extremos de una función.

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).[1] [2] [3] De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

Índice

Extremos relativos o locales [editar]

Sea f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R} , sea  x_0 \in A y sea  P\,(x_0, f(x_0)) un punto perteneciente a la función.

 

Se dice que  p es un máximo local de  f si existe un entorno reducido de centro  x_0 , en símbolos  {E'(x_0)} , donde para todo elemento  x de  {E'(x_0)} se cumple  f(x) \le f(x_0) . Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse  f(x) < f(x_0) .


Análogamente se dice que el punto  p es un mínimo local de  f si existe un entorno reducido de centro  x_0 , en símbolos  {E'(x_0)} , donde para todo elemento  x de  {E'(x_0)} se cumple  f(x) \ge f(x_0) .

Extremos absolutos [editar]

Sea f(x): A\sub\mathbb{R} \longmapsto \mathbb {R} , sea  x_0 \in A y sea  P\,(x_0, f(x_0)) un punto perteneciente a la función.

 

Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de x_0 pertenenciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de x_0. Esto es:

P\,(x_0, f(x_0)) máximo absoluto de f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \ge f(x) .

 

Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de x_0 pertenenciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de x_0. Esto es:

P\,(x_0, f(x_0)) mínimo absoluto de f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \le f(x) .

Cálculo de extremos locales [editar]

Dada una función suficientemente derivable f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R} , definida en un intervalo abierto de \mathbb {R}, el procedimiento para hallar los extremos de esta función es muy sencillo:

  1. Se halla la primera derivada de  f \rightarrow f'\,(x)
  2. Se halla la segunda derivada de  f \rightarrow f''\,(x)
  3. Se iguala la primera derivada a 0: f\,'(x) = 0
  4. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma:  x = \big\{x_1, x_2,..., x_n / f'(x_i)= 0 \quad \forall i = 1,2,...,n \big\} .
  5. Se halla la imagen de cada x_i\, sustituyendo la variable independiente en la función.
  6. Ahora, en la segunda derivada, se sustituye cada x_i\,:
    1. Si  f''\,(x_i) < 0 , se tiene un máximo en el punto  M\, (x_i, f(x_i)).
    2. Si  f''\,(x_i) > 0 , se tiene un mínimo en el punto  m\, (x_i, f(x_i)).
    3. Si  f''\,(x_i) = 0, debemos sustituir x_i\, en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que x_i\, no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
      1. Si la derivada es par, se trata de un extremo local; un máximo si f^n\,(x_i) < 0 y un mínimo si f^n\,(x_i) > 0
      2. Si la derivada no es par, se trata de un punto de inflexión, pero no de un extremo.

Ejemplo [editar]

Sea f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x -30 \,.

Hallar sus extremos locales y sus puntos de inflexión.  

Dada la función f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x - 30 \,, se tiene que:

f'\,(x) = 3x^2 -24x + 45

f''\,(x) = 6x - 24

f'''\,(x) = 6

  • Extremos:

f'\,(x) = 3x^2 - 24x + 45 = 0 \iff x \in \big\{3, 5\big\}

f''\,(3) = 6 \cdot 3 - 24 = -6 < 0 \Rightarrow existe un máximo en  M\,(3, f(3)) \rightarrow M\,(3, 24) .

f''(5) = 6 \cdot 5 - 24 = 6 > 0 \Rightarrow existe un mínimo en  m\,(5, f(5)) \rightarrow m\,(5, 20).

  • Puntos de inflexión

f''(x) = 6x - 24 = 0 \iff x = 4.

f'''(4) = 6 \ne 0 \Rightarrow existe un punto de inflexión en  P\,(4, f(4)) \rightarrow P\,(4, 22) .

Extremos condicionados [editar]

Un problema de extremos condicionadode Lagrange|método de los multiplicadores de Lagrange]].

Véase también [editar]

Referencias [editar]

  1. Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6a edición). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5. 
  2. Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9a edición). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4. 
  3. Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12a edición). Addison-Wesley. ISBN 0-321-58876-2.