Extremos de una función
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[editar] Extremos relativos o locales
Sea
, sea
y sea
un punto perteneciente a la función.
Se dice que p es un máximo local de f si existe un entorno reducido de centro x0, en símbolos E'(x0), donde para todo elemento x de E'(x0) se cumple
. Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse f(x) < f(x0).
Análogamente se dice que el punto p es un mínimo local de f si existe un entorno reducido de centro x0, en símbolos E'(x0), donde para todo elemento x de E'(x0) se cumple
.
[editar] Extremos absolutos
Sea
, sea
y sea
un punto perteneciente a la función.
Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de x0 pertenenciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de x0. Esto es:
máximo absoluto de
.
Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de x0 pertenenciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de x0. Esto es:
mínimo absoluto de
.
[editar] Cálculo de extremos locales
Dada una función suficientemente derivable
, definida en un intervalo abierto de
, el procedimiento para hallar los extremos de esta función es muy sencillo:
- Se halla la primera derivada de

- Se halla la segunda derivada de

- Se iguala la primera derivada a 0:

- Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma:
. - Se halla la imagen de cada
sustituyendo la variable independiente en la función. - Ahora, en la segunda derivada, se sustituye cada
:
- Si
, se tiene un máximo en el punto
. - Si
, se tiene un mínimo en el punto
. - Si
, debemos sustituir
en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que
no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
- Si la derivada es par, se trata de un extremo local; un máximo si
y un mínimo si 
- Si la derivada no es par, se trata de un punto de inflexión, pero no de un extremo.
- Si la derivada es par, se trata de un extremo local; un máximo si
- Si
[editar] Ejemplo
Sea
. Hallar sus extremos locales y sus puntos de inflexión.
Dada la función
, se tiene que:



- Extremos:

existe un máximo en
.
existe un mínimo en
.
- Puntos de inflexión
.
existe un punto de inflexión en
.

