Teorema de Heine-Borel

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El teorema de Heine-Borel también llamado teorema de Borel-Lebesgue en el análisis matemático establece: Un subconjunto de $\mathbb{R}^n$ es cerrado y acotado si y solo si es compacto, esto es si admite un recubrimiento infinito admite también un recubrimiento finito, en el caso particular aplicado a la recta real recibe propiamente el nombre de Teorema de Heine-Borel fuera de este caso es frecuente llamarlo Teorema de Borel-Lebesgue.

Las formulaciones principales de tal teorema débense a los matemáticos Heinrich Heine, Émile Borel y Henri Lebesgue.

[editar] Teoremas Preliminares

1- Los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos

Sea $F$ un conjunto cerrado y $K$ un conjunto compacto tales que $F\subset K\subset \mathbb{R}^n$ .

Sea ${G a}$ una cubierta abierta de $F$ , entonces $\{G_a\}\cup \{F^c\}$ es una cubierta abierta de $K$ (podemos agregar $F c$ ya que es abierto). Como $K$ es compacto entonces ${G a, F c}$ tiene un refinamiento finito que también cubre a $F$ . Podemos quitar a $F c$ y sigue cubriendo a $F$ . Así obtenemos un refinamiento finito de cualquier cubierta abierta de $F$

2- Si $E\subset K\subset \mathbb{R}^n$ , donde $E$ es un conjunto infinito y $K$ es compacto, entonces $E$ tiene un punto de acumulación en $K$

Si $E$ no tuviera puntos de acumulación en $K$ entonces $\forall a\in K \exists B_{\varepsilon}(a)= a$ donde $B_{\varepsilon}$ es una epsilon-vecindad y $\varepsilon > 0$ . Es claro que el conjunto de estas vecindades forman una cubierta par $E$ pero no tiene un refinamiento finito, lo mismo cumpliría para $K$ que contradiría la definición de que $K$ es compacto.

3- Toda k-celda es compacta

Sea $I$ una k-celda que consiste de todos los puntos x $= (x 1, x 2,..., x k)$ tal que $a\leq x_j\leq b$ y $j = 1,2,..., k$ . Sea $\delta=(\sum (b_j - a_j)^2)^{1/2}$ entonces si $x,y \in I$ $| x - y | < δ$ . Sea ${G a}$ una cubierta arbitraria de $I\,$ y supongamos que $I$ no se puede cubrir con una cantidad finita de $G a$ 's.

Tomemos $c_s=\frac{a_s+b_s}{2}$ entonces los intervalos $[a s, c s][c s, b s]$ determinan $2 k$ celdas $Q i i = 1,2,...,2 k$ . Entonces por lo menos un $Q i$ no se puede cubrir con una cantidad finita de $G a$ 's. Lo llamaremos $I 1$ y así obtenemos una sucesión ${I n}$ tal que:

1. $I_1\supset I_2\supset I_3\supset ...$ .
2. $I n$ no se puede cubrir con una cantidad finita de $G a$ 's.
3. Si $x,y \in I_n$ entonces $| x - y | < 2 - n δ$ .
4. ${\cap}_n I_n \neq \emptyset$

Digamos que $h\in {\cap}_n I_n$ , como ${\cup}_a G_a$ cubre a $I$ entonces $h\in G_b\subset {\cup}_a G_a$ . Como $G b$ es abierto $\exists B_{\varepsilon} (h)\subset G_b$ . Si tomamos n suficientemente grande tal que $2^{-n}\delta < \varepsilon$ tenemos que este $I_n\subset B_{\varepsilon} (h)\subset G_b$ lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrir con una cantidad finita de $G a$ 's.

[editar] Demostración del teorema de Heine-Borel

Enunciado Si un conjunto $E\subset \mathbb{R}^n$ tiene algunas de las siguientes propiedades, entonces tiene las otras dos.

1. $E$ es cerrado y acotado.
2. $E$ es compacto.
3. Todo subconjunto infinito de $E$ tiene un punto de acumulación en E.

Demostración:

Si cumple 1) entonces $E\subset I$ para alguna k-celda $I$ , y 1) implicaría 2) por los teoremas 1 y 3 anteriores.

Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.

Ahora falta demostrar que si cumple 3), entonces cumple 1): Si $E$ no es acotado entonces contiene un conjunto { $x n$ } tal que $| x n | > n$ entonces el subconjunto { $x n$ } es infinito y no tiene un límite en $\mathbb{R}^n$ , lo cual contradice 3). Si $E$ no es cerrado entonces existe un elemento $x_0 \in \mathbb{R}^n$ que es un punto de acumulación de $E$ pero no está en $E$ . Para $n = 1,2,...$ existen $x_n \in E$ tales que $| x n - x 0 | < 1 / n$ , entonces el conjunto { $x n$ } es infinito y no tiene límite contenido en él mismo, lo cual contradice 3). $\Box$