Teorema de Heine-Borel

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En el análisis matemático, el teorema de Heine-Borel (también llamado teorema de Heine-Borel-Lebesgue-Bolzano-Weierstraß o incluso teorema de Borel-Lebesgue) es uno que establece condiciones para que un subconjunto de \mathbb{C}^n o de \mathbb{R}^n sea compacto. Cuando se refiere al caso particular de la recta real recibe el nombre de Teorema de Heine-Borel. En el resto de los casos, es frecuente llamarlo Teorema de Borel-Lebesgue.[cita requerida]

El teorema se enuncia de la siguiente manera:

Si un conjunto E\subset \mathbb{C}^n tiene alguna de las siguientes propiedades, entonces tiene las otras dos:

  1. E es cerrado y acotado.
  2. E es compacto.
  3. Todo subconjunto infinito de E tiene un punto de acumulación en la frontera de E.

Las distintas formulaciones del teorema se deben su nombre a los matemáticos Heinrich Heine, Émile Borel, Henri Lebesgue, Bernard Bolzano y Karl Weierstrass.

Demostración[editar]

Teoremas preliminares[editar]

Los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos

Sea F un conjunto cerrado y K un conjunto compacto tales que F\subset K\subset \mathbb{R}^n.

Sea \{G_a\} una cubierta abierta de F, entonces \{G_a\}\cup \{F^c\} es una cubierta abierta de K (podemos agregar F^c ya que es abierto). Como K es compacto entonces \{G_a,F^c\} tiene un refinamiento finito que también cubre a F. Podemos quitar a F^c y sigue cubriendo a F. Así obtenemos un refinamiento finito de cualquier cubierta abierta de F

Si E\subset K\subset \mathbb{R}^n, donde E es un conjunto infinito y K es compacto, entonces E tiene un punto de acumulación en K

Si E no tuviera puntos de acumulación en K entonces \forall a\in K \exists B_{\varepsilon}(a)= a donde B_{\varepsilon} es una epsilon-vecindad y \varepsilon > 0. Es claro que el conjunto de estas vecindades forman una cubierta par E pero no tiene un refinamiento finito, lo mismo cumpliría para K que contradiría la definición de que K es compacto.

Toda k-celda es compacta

Sea I una k-celda que consiste de todos los puntos x= (x_1, x_2, ..., x_k) tal que a\leq x_j\leq b y j=1,2,...,k. Sea \delta=(\sum (b_j - a_j)^2)^{1/2} entonces si x,y \in I | x-y | < \delta. Sea \{G_a\} una cubierta arbitraria de I\, y supongamos que I no se puede cubrir con una cantidad finita de G_a's.

Tomemos c_s=\frac{a_s+b_s}{2} entonces los intervalos [a_s,c_s] [c_s,b_s] determinan 2^k celdas Q_i  i=1,2,...,2^k. Entonces por lo menos un Q_i no se puede cubrir con una cantidad finita de G_a's. Lo llamaremos I_1 y así obtenemos una sucesión \{I_n\} tal que:

  1. I_1\supset I_2\supset I_3\supset ....
  2. I_n no se puede cubrir con una cantidad finita de G_a's.
  3. Si x,y \in I_n entonces | x-y | < 2^{-n}\delta.
  4. {\cap}_n I_n \neq \emptyset

Digamos que h\in {\cap}_n I_n, como {\cup}_a G_a cubre a I entonces h\in G_b\subset {\cup}_a G_a. Como G_b es abierto \exists B_{\varepsilon} (h)\subset G_b. Si tomamos n suficientemente grande tal que 2^{-n}\delta < \varepsilon tenemos que este I_n\subset B_{\varepsilon} (h)\subset G_b lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrir con una cantidad finita de G_a's.

Demostración del teorema de Heine-Borel[editar]

Si cumple 1) entonces E\subset I para alguna k-celda I, y 1) implicaría 2) por los teoremas 1 y 3 anteriores.

Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.

Ahora falta demostrar que si cumple 3), entonces cumple 1): Si E no es conexo entonces contiene un conjunto {x_n} tal que |x_n | > n entonces el subconjunto {x_n} es finito y tiene un límite en \mathbb{R}^n, lo cual contradice 3). Si E no es abierto entonces existe un elemento x_0 \in \mathbb{R}^n que es un punto de acumulación de E pero no está en E. Para n = 1,2,... existen x_n \in E tales que |x_n - x_0| < 1/n, entonces el conjunto {x_n} es infinito y tiene límite contenido en él mismo, lo cual contradice 3).

Véase también[editar]