Continuidad uniforme

En análisis matemático una función f(x) se dice que es uniformemente continua si pequeños cambios en el valor de x producen pequeños cambios en el valor de la función (continuidad) y el tamaño de los cambios en f(x) depende solo del tamaño de los cambios en x pero no del valor de x (uniforme).

Definición

Dados dos espacios métricos $(X, d_X)$ y $(Y, d_Y)$, y $M \subseteq X$ entonces una función $f : M\to Y$ se llama uniformemente continua en M si para cualquier número real $\epsilon > 0$ existe $\delta >0$ tal que para todo $x_1,x_2 \in M$ con $d_X(x_1,x_2)<\delta$, se tiene que $d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon$.

Una función $f : \R\to \R$ es uniformemente continua en un intervalo $\ A$ si para todo $\epsilon > 0$ existe algún $\delta >0$ tal que para todo $x,y \in A$ se cumple que si $|x-y|<\delta$, entonces $|f(x)-f(y)|<\epsilon$.

A diferencia de en la continuidad, donde el valor de $\delta$ depende del punto x, en las funciones uniformemente continuas, no.

Ejemplos

• La función 1/x con x>0 es continua pero no uniformemente continua
• La función x es uniformemente continua en el intevalo [0,1].
• Todo polinomio $p:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ cuyo grado sea menor o igual que uno es uniformemente continuo.

Resultados

• De la definción se deduce que toda función uniformemente continua es continua. Lo contrario (toda función continua es uniformemente continua) no siempre es cierto. Ejemplo: Si $x \in \mathbb{R}^{+}$ y $f(x)= \frac{1}{x}$. $f(x)$ es continua y no es uniformemente continua. Sin embargo, se verifica que:

Si M es un espacio métrico compacto e Y un espacio métrico, entonces toda función continua f : M → Y es uniformemente continua. En particular, toda función continua sobre un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua en dicho intervalo (Teorema de Heine-Cantor).

• Si (x_n) es una sucesión de Cauchy contenida en el dominio de f (no necesariamente convergente) y f es una función uniformemente continua, entonces (f(x_n)) también es una sucesión de Cauchy.
• Toda función Lipschitz continua es uniformemente continua.