Teorema de Heine-Cantor

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En matemáticas, el teorema de Heine-Cantor, llamado así por deberse a Eduard Heine (1821 - 1881) y Georg Cantor, establece que, si f : M → N es una función continua entre dos espacios métricos y M es compacto, entonces f es uniformemente continua.

Demostración[editar]

La continuidad uniforme de una función se expresa como:

\forall \varepsilon > 0 \  \exists \delta > 0 \ \forall x, y \in M : \left (d_M(x,y) < \delta \Rightarrow d_N (f(x) , f(y) ) < \varepsilon\right),

donde dM, dN son las funciones distancia en los espacios métricos M y N, respectivamente. Si ahora asumimos que f es continua en el espacio métrico compacto M pero no uniformemente continua, la negación de la continuidad uniforme de f queda así:

\exists \varepsilon_0 > 0 \ \forall \delta > 0 \ \exists x, y \in M : \left (d_M (x,y) < \delta \wedge d_N (f(x) , f(y) ) \ge \varepsilon_0\right) .


Eligiendo ε0, para todo δ positivo tenemos un par de puntos x e y en M con las propiedades arriba descritas. Si elegimos δ = 1/n para n = 1, 2, 3, ... obtenemos dos sucesiones {xn}, {yn} tales que

 d_M(x_n, y_n) < \frac {1}{n} \wedge d_N ( f (x_n), f (y_n)) \ge \varepsilon_0.

Como M es compacto, el teorema de Bolzano-Weierstrass demuestra la existencia de dos subsucesiones convergentes (x_{n_k} a x0 y y_{n_k} a y0). Se sigue que

d_M (x_{n_k}, y_{n_k}) < \frac{1}{n_k} \wedge d_N ( f (x_{n_k}), f (y_{n_k})) \ge \varepsilon_0 .

Pero como f es continua y x_{n_k} e y_{n_k} convergen en el mismo punto, esta afirmación no puede ser cierta. La contradicción prueba que nuestra suposición de que f no es uniformemente continua es absurda: entonces f debe ser uniformemente continua como afirma el teorema.