Función distancia con signo

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En matemáticas la función distancia con signo mide cuán cerca se encuentra un punto x de un conjunto S otrogándole un signo según el punto se encuentre de 'un lado o de otro' del conjunto S.

f(x)= 
\begin{cases}
 d(x, S) & \mbox{ si } x\in A \\
0 & \mbox{ si } x\in S \\
 -d(x, S)&  \mbox{ si } x\in B
\end{cases}

donde

 d(x, S)=\inf_{y\in S}d(x, y) es la distancia ordinaria de un punto a un conjunto, A y B son conjuntos disjuntos que se definen según las características de S.

  • Aunque la definición de la función tiene sentido en un espacio métrico cualquiera y para cualquier conjunto S, habitualmente solo se define en los \mathbb{R}^n y con S con suficientes propiedades.
  • Si la superficie es completa, es decir,  S = cl(S ) donde cl es la clausura, podemos reemplazar ínfimo por mínimo.
  • La función distancia con signo es llamada también función distancia orientada

Función distancia con signo para superficies[editar]

Para una superficie S que encierra un volumen la función distancia con signo b_{S}(x) tomará valores positivos fuera de S, irá tendiendo a 0 a medida que x se acerca a cl(S) y tomará valores negativos dentro de S.

b_{S}(x)= 
\begin{cases}
 d_{S}(x) & \mbox{ si } x\in S^+ \\
 0 & \mbox{ si } x\in cl(S) \\
 -d_{S}(x)&  \mbox{ si } x\in S^-
\end{cases}

Donde  S^+ es el espacio fuera de la superficie y  S^- el espacio encerrado por la superficie.

  • Para superficies que no encierran un volumen es posible también determinar el signo de b_{S}(x). Sabemos que la elección de un vector normal  N(p) en un punto p de una superficie S induce una orientación en S, esto es, un campo continuo de vectores normales a la superficie. Para superficies no orientables en general es posible, de la misma manera, determinar una orientación local en un entorno de p. Luego, como en general b_{S}(x) puede tomarse como la distancia entre x y un único punto  p_{x}\in cl(S) , y como  x - p_{x} es paralelo a N(p) la función tomara un valor positivo si  x - p_{x} tiene el mismo sentido que  N(p) y un valo negativo si tienen sentidos opuestos.

Esqueleto[editar]

  • Pueden existir ciertos puntos en el espacio donde la distancia a la superficie puede tomarse como la distancia a dos o más puntos de cl(S). Este conjunto de puntos lo llamamos esqueleto de S y lo notaremos \epsilon(S). Por ejemplo, en una esfera su esqueleto es su centro y un cilindro su eje.

 \epsilon(S)= \left\{x \in \mathbb{R}^3 \; / \; b_{S}(x)= s\|x - p_{x}\| = s\|x - p_{y}\|, \; s = \pm 1 \; y \; p_{x} \neq p_{y} \right\}

Propiedades[editar]

Si S es una superficie continua y suave a trozos se verifican las siguientes propiedades:

1. Sea  p_{x}\in cl(S) tal que  b_{S}(x)= \pm\|x - p_{x}\| entonces  x - p_{x} es normal a S en  p_{x} .

Demostración:
Sea A la esfera de centro x y radio \|x - p_{x}\|. Supongamos que x - p_{x} no es normal a S en  p_{x}, entonces A no es tangente a S en  p_{x}, entonces existirá en un entorno de  p_{x} un  p_{y} \in S dentro A, entonces \|x - p_{y}\|<\|x - p_{x}\|, lo cual es falso.

2.  b_{S}(x) es Lipschitziana de constante k = 1, es decir, \|b_{S}(x) - b_{S}(y)\| \le \|x - y\| .

Demostración:
Si  x \;e\; y \in S^+ entonces \|x - p_{x}\| \le \|x - p_{y}\| \le \|x - y\|+\|y - p_{y}\|, entonces \|x - p_{x}\| - \|y - p_{y}\| \le \|x - y\|. Si  x \in S^+ e  y \in S^- , entonces  \exists z = \overline{xy} \cap S tal que \|x - p_{x}\| \le \|x - z\| y \|y - p_{y}\| \le \|y - z\|, entonces \|x - p_{x}\|+\|y - p_{y}\| \le \|x - y\|.

3.  b_{S}(x) es diferenciable en casi todos los puntos.

Demostración:
El teorema de Rademacher, establece que si U es un subconjunto abierto de  \mathbb{R}^n y f(x) es Lipschitz continua, entonces f(x) es Fréchet diferenciable en casi todo U.

4.  b_{S}(x) es diferenciable en x si y solo si  x \notin \epsilon(S) y en ese caso existirá un único  p_{x} tal que  b_{S}(x)= \pm\|x - p_{x}\| y \nabla b_{S}(x)=\frac{x - p_{x}}{b_{S}(x)}.

5. \|\nabla b_{S}(x)\|=1, es solución de la ecuación de la eikonal.

6.  \forall x \in S,  N(x) = \nabla b_{S}(x), es decir para todo punto x en la superficie S la normal en x es el gradiente de b_{S}(x) en x.

Demostración:
 S \subset cl(S) = \left\{x \; / \; b_{S}(x)= 0 \right\}, entonces  N(x)=\frac{\nabla b_{S}(x)}{\|\nabla b_{S}(x)\|}=\frac{\nabla b_{S}(x)}{1}=\nabla b_{S}(x)

7.  H(x) = \Delta b_{S}(x) La curvatura media en x es igual al Laplaciano en x.

Demostración:
 H(x) =\nabla \frac{\nabla b_{S}(x)}{\|\nabla b_{S}(x)\|}=\nabla \frac{\nabla b_{S}(x)}{1}=\nabla \nabla b_{S}(x)= \nabla^2 b_{S}(x)= \Delta b_{S}(x)

Ejemplos[editar]

  • Distancia a un plano

Para un plano  \Pi \equiv A.x + B.y + C.z + D = 0  cuyo vector normal es  (A, B, C)

b_{\Pi}(x, y, z)=\frac{A.x + B.y + C.z + D }{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
  • Distancia a una esfera

Sea S la esfera de centro  (a, b, c) y rario r

b_{S}(x, y, z) = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 }- r
  • distancia a un toro

Sea S un toro generado al rotar una circunferencia de radio r cuyo centro está separado a una distancia R del eje z y centrado en el origen.

b_{S}(x, y, z) = \sqrt{(\sqrt{x^2+y^2}-R)^2+z^2}-r

Referencias[editar]

  • Michel C. Delfour,J. P. Zolésio. Shapes and geometries: analysis, differential calculus, and optimization. 

Enlaces externos[editar]