Función lipschitziana

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En matemática, una función f : MN entre espacios métricos (M,dM) y (N,dN) se dice que es lipschitziana (o se dice que satisface una condición de Lipschitz o que es Lipschitz continua) si existe una constante K > 0 tal que:[1]

d_N(f(x),f(y)) \le K d_M(x,y),\ \forall x,y\in M

En tal caso, K es llamada la constante Lipschitz de la función. El nombre viene del matemático alemán Rudolf Lipschitz. Para funciones definidas sobre espacios euclídeos la relación anterior puede escribirse:

\|f(x)-f(y)\| \le K \|x-y\|,\ \forall x,y\in \R^n, \qquad f:\R^n\to\R^m

Características y resultados principales[editar]

  • Si U es un subconjunto del espacio métrico M y f : UR es una función Lipschitz continua a valores reales, entonces siempre existe una función Lipschitz continua MR que extiende f y tiene la misma constante Lipschitz que f.(ver también teorema de Kirszbraun).
  • Una función Lipschitz continua f : IR, donde I es un intervalo en R, es diferenciable casi en todas partes (siempre, excepto en un conjunto de medida de Lebesgue cero). Si K es la constante Lipschitz de f, entonces |(f')(x)| ≤ K toda vez que la derivada exista. Contrariamente, si f : IR es una función diferenciable con derivada acotada, |(f')(x)| ≤ L para toda x en I, entonces f es Lipschitz continua con constante Lipschitz KL, una consecuencia del teorema del valor medio.

Definiciones relacionadas[editar]

Estas definiciones se requieren en el Teorema de Picard-Lindelöf y en resultados relacionados con él.

  • Localidad Lipschitz: Dados M, N, espacios métricos, se dice que una función f:M \longrightarrow N es localmente lipschitz si para todo punto de M existe un entorno donde la función cumple la condición Lipschitz.
  • Función Lipschitz respecto una variable: Dados M, N, L espacios métricos, se dice que una función \begin{matrix}f : M \times N \to L \\
(t,x) \mapsto f(t,x)\end{matrix} es localmente Lipschitz respecto x si cumple la condición Lipschitz para puntos de N.

Ejemplos[editar]

Sea f:X\rightarrow \mathbb{R} Lipchitz continua, particularizando para una función lineal del tipo f(x)=ax+b, basta tomar \delta=\frac{\varepsilon}{|a|} y se demuestra. De paso se obtiene la continuidad uniforme.

Referencias[editar]

  1. Searcóid, Mícheál Ó (2006), Metric spaces, Springer undergraduate mathematics series, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-84628-369-7, http://books.google.de/books?id=aP37I4QWFRcC , section 9.4
  2. Jiménez López, Víctor (2000). Ecuaciones diferenciales: cómo aprenderlas, cómo enseñarlas. EDITUM. p. 175. ISBN 84-8371-164-8.