Ecuación de cuarto grado

Gráfico de una ecuación de cuarto grado.

Una ecuación de cuarto grado o ecuación cuártica con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

$ax^4 + bx^3 + {cx^2}^{} + dx + e = 0$

donde a, b, c, d y e (siendo $a \ne 0$) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a los reales $\mathbb{R}$ o los complejos $\mathbb{C}$.

Caso general

Sea K un cuerpo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas (y por lo tanto también de cuarto orden, pues equivale a extraer raíces cuadradas dos veces seguidas). En este cuerpo, es posible factorizar por todo a, y la identidad siguiente es válida:

$(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 \,$.

En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

El método siguiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo. Este método es llamado "método de Descartes", pues fue dado por el matemático francés René Descartes (1596-1650) en el año de 1637 en su célebre libro "La Geometría". Aunque existan diferentes métodos para resolver las ecuaciones cuárticas, algunos por mencionar son: método de Ferrari, método de Descartes, método de Euler, método de Lagrange, método de Alcalá, etcétera.

Método de Descartes

Los pasos de la resolución para el método de Descartes (1637) son:

• Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a. Se obtiene:

$x^4 + b'x^3 + c'x^2 + d'x + e' = 0 \,$, donde $b' = \frac {b} {a} \,$, $c' = \frac {c} {a} \,$, $d' = \frac {d} {a} \,$ y $e' = \frac {e} {a} \,$

• Proceder al cambio de incógnita $z = x + \frac {b'} {4} \,$, para suprimir el término cúbico. En efecto, al desarrollar $(z - \frac {b'} {4})^4$ con la identidad precedente, vemos aparecer el término $-b'z^3 \,$, compensado exactamente por $b'z^3 \,$ que aparece en $b'(z - \frac {b'} {4})^3 \,$. Tras sustituir x y operando con las identidades notables, se obtiene:

$z^4 + pz^2 + qz + r = 0 \,$, con p, q y r números del cuerpo.

• Y ahora, la idea genial: factorizar lo anterior en $(z^2 + \alpha z + \beta )( z^2 - \alpha z + \gamma) \,$, lo que es posible porque no hay z³ en el polinomio.

Desarrollando la expresión e identificando los dos polinomios, obtenemos las condiciones:

$\beta + \gamma - \alpha^2 = p \,$ (coeficiente de x²)

$\alpha(\gamma - \beta) = q \,$ (coeficiente en x)

$\beta \gamma = r \,$ (término constante)

Después de algunos cálculos, hallamos : $\alpha^6 + 2p\alpha^4 + (p^2 - 4r)\alpha^2 - q^2 = 0 \,$ Es una ecuación de sexto grado, pero si miramos bien, α sólo aparece con potencias pares.

Pongamos $A = \alpha^2$. Entonces:

$A^3 + 2pA^2 + (p - 4r)A - q^2 = 0 \,$, que resulta ser una ecuación de tercer grado en la variable $A\,$ y que se puede resolver usando el método de Cardano.

Luego se encuentra α, β y γ, y se resuelven $z^2 + \alpha z + \beta = 0 \,$ y $z^2 - \alpha z + \gamma = 0 \,$, y para terminar, no olvide que $x = z - \frac {b'} {4}$.

Ecuaciones bicuadradas

Éstas son un caso particular de las anteriores. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencia. Su forma polinómica es:

$ax^4 + {bx^2}^{} + c = 0$

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable ${x^2}^{}=u$
Con lo que nos queda: ${au^2}^{} + bu + c = 0$ El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula:

$u= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ahora bien, esto no nos da las cuatro soluciones esperadas. Aún hemos de deshacer el cambio de variable. Así las cuatro soluciones serán:

$x_1 = +\sqrt{u_1}$

$x_2 = -\sqrt{u_1}$

$x_3 = +\sqrt{u_2}$

$x_4 = -\sqrt{u_2}$

Otro caso particular: Ecuaciones casi-simétricas

El siguiente tipo de ecuación

$x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+m^2=0 \,$, donde $m = \frac {a_3} {a_1} \,$, puede ser resuelto así:

Al dividir la ecuación por $x^2$, se obtiene

$x^2 + \frac {m^2} {x^2} + a_1x + \frac {a_3} {x} + a_2 = 0$

$(x^2 + \frac {m^2} {x^2}) + a_1(x + \frac {m} {x}) + a_2 = 0$

Haciendo cambio de variable:

$z=x + \frac {m} {x} \,$

llegamos a

$z^2 - 2m = x^2 + \frac {m^2} {x^2} \,$

Así

$(z^2 - 2m) + a_1z + a_2 = 0 \,$

Esta ecuación da 2 raíces, $z_1$ y $z_2$

Las raíces de la ecuación original pueden ser obtenidas resolviendo las siguientes ecuaciones de 2o grado:

$x^2 -z_1x + m = 0 \,$

y

$x^2 - z_2x + m = 0 \,$

Si $a_0$ no es 1 en $a_0x^4 + a_1x^3 + a_2x^2 + a_3x + a_0m^2 = 0 \,$

este método es de todas formas aplicable, luego de dividir la ecuación entre $a_0$.

Las ecuaciones cuasi simétricas poseen la siguiente propiedad, que, por otra parte, las define: si $x_1$, $x_2$, y $x_3$,$x_4$ son las raíces de la ecuación, entonces $x_1 x_2 = m$. Dado que el producto de las 4 raíces es $m^2$, entonces $x_3 x_4 = m$ necesariamente.

Véase también

• Ecuación
• Ecuación de segundo grado
• Ecuación de tercer grado
• Ecuación de quinto grado
• Ecuación química
• Sistema de ecuaciones

Enlaces externos

• Una solución a la de cuarto
• Resolución de ecuaciones de cuarto grado: Calculator for solving Quartics (also solves Cubics and Quadratics)