Ecuación diferencial

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Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Algo de historia[editar]

  • El nacimiento de la ciencia de ecuaciones diferenciales se fijaría en el 11 de de noviembre de 1675, cuando Leibnitz asentó en un papel la ecuación
Integral de y diferencial de y igual a la mitad del cuadrado de y [1]
  • Newton formuló la ley de la gravitación, resolviendo después el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente para probar que la Tierra se mueve alrededor del Sol, describiendo aproximadamente una elipse, uno de cuyos focos es el Sol.
  • Maxwell concibió una relación entre corriente eléctrica y el campo magnético correspondiente.
  • Las ecuaciones diferenciales han cumplido un rol destacado en el desarrollo de las teorías de radio, radar, televisión y electricidad general.

Introducción[editar]

  • Por ejemplo se considera la ley, apoyada en experiencias, de que el radio se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad de radio presente, hecho que se describe mediante la ecuación
\frac{dQ}{dt} = kQ , Q la cantidad de radio es función del tiempo t; de modo que Q = Q(t). [2]

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

  • \,y'= 2xy + 1
es una ecuación diferencial ordinaria, donde \,y representa una función no especificada de la variable independiente \,x, es decir, \,y=f(x), y'=\frac{dy}{dx} es la derivada de \,y con respecto a \,x.
  • La expresión \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}=0
es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

Orden de la ecuación[editar]

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.

Grado de la ecuación[editar]

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Ecuación diferencial lineal[editar]

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma \, a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' +a_0(x)y=g(x), es decir:

  • Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
  • En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
  • Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Ejemplos:

  • \,y'= y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones y = f(x) =  k \cdot e^x , con k un número real cualquiera.
  • \,y'' + y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones y = f(x) = a \cos (x) + b  \sin (x)\,, con a y b reales.
  • \,y'' - y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones \,a \cdot e^x+b \cdot 1/(e^x), con a y b reales.

Usos[editar]

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.

\mathbf{Mx}''(t)+ \mathbf{Cx}'(t)+\mathbf{Kx}(t)=\mathbf{P}(t) \,

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.

  • La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:
  • { \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 {\partial^2 u \over \partial x^2 },

donde t\, es el tiempo y x\, es la coordenada del punto sobre la cuerda y c\, una constante que corresponde a la velocidad de propagación de dicha onda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

Ecuaciones semilineales y cuasilineales[editar]

No existe un procedimiento general para resolver ecuaciones diferenciales no lineales. Sin embargo, algunos casos particulares de no linealidad sí pueden ser resueltos. Son de interés el caso semilineal y el caso cuasilineal.

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama cuasilineal si es "lineal" en la derivada de orden n. Más específicamente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función \scriptstyle y(x) puede escribirse en la forma:

f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y'',y',y,x)=0, \qquad \qquad
f_1(z):=f(z,\alpha_{n-1},\dots,\alpha_2,\alpha_1,\alpha_0,\beta_0)

Se dice que dicha ecuación es cuasilineal si \scriptstyle f_1(\cdot) es una función afín, es decir, \scriptstyle f_1(z) = az + b.

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama semilineal si puede escribirse como suma de una función "lineal" de la derivada de orden n más una función cualquiera del resto de derivadas. Formalmente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función \scriptstyle y(x) puede escribirse en la forma:

f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y'',y',y,x)= \hat{f}(y^{(n)},x)+ g(y^{(n-1)},\dots,y',y,x) \qquad \qquad
f_2(z):= \hat{f}(z,\beta_0)

Se dice que dicha ecuación es semilineal si \scriptstyle f_2(\cdot) es una función lineal.

Solución de una ecuación diferencial[editar]

Tipos de soluciones[editar]

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:

  1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes.
Solución general[editar]

Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

  1. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X_0,Y_0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X_0,Y_0), que recibe el nombre de condición inicial.
Solución particular[editar]

Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

  1. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.
Solución singular[editar]

Solución de la ecuación no consistente en una particular de la general.

Resolución de algunas ecuaciones[editar]

Referencias[editar]

  1. Boyce-Di Prima: Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera ISBN 968-18-0107-5
  2. Kells: Ecuaciones diferenciales elementales

Véase también[editar]

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]