Fuerza de Lorentz

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Trayectoria bajo la fuerza de Lorentz de una partícula cargada en un campo magnético constante, según el signo de la carga eléctrica.

Fuerza sobre una partícula cargada.

Fuerza sobre una corriente.

En física, la fuerza de Lorentz es la fuerza ejercida por el campo electromagnético que recibe una partícula cargada o una corriente eléctrica.

Tabla de contenidos

1 Forma clásica
2 Formas alternativas
- 2.1 Forma integral
- 2.2 Forma tensorial
3 Fuerza de Lorentz y tercera ley de Newton
4 Véase también
5 Enlaces externos

[editar] Forma clásica

Para una partícula sometida a un campo eléctrico combinado con un campo magnético, la fuerza electromagnética total o fuerza de Lorentz sobre esa partícula viene dada por:

$\vec{f} = q (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}),$

donde $\vec v$ es la velocidad de la carga, $\vec E$ es el vector campo eléctrico y $\vec B$ es el vector campo magnético. La expresión anterior está relacionada con la fuerza de Laplace o fuerza sobre un hilo conductor por el que circula corriente:

$\vec f = \int_L I\cdot d \vec l \times \vec B \;$

donde $L\,$ es la longitud del conductor, $I\,$ es la intensidad de corriente y $\vec B$ la intensidad de campo magnético. Curiosamente, esta última expresión históricamente se encontró antes que la anterior, a pesar de ser una consecuencia directa de ella.

[editar] Formas alternativas

[editar] Forma integral

Si los campos eléctrico $\vec{E}$ y magnético $\vec{B}$ no son modificados por la presencia de la densidad de carga eléctrica ρ y la densidad de corriente $\vec{J}$ , y las dos últimas no son modificadas por dichos campos, la fuerza de Lorentz se puede expresar como:

$\vec{f} = \int_V ( \rho \vec{E} + \vec{J} \times \vec{B}) \cdot dV$

Como en general ésto no es cierto, la resolución de las fuerzas resultantes requiere el uso de consideraciones energéticas y la resolución de ecuaciones diferenciales derivadas de las ecuaciones de Maxwell.

[editar] Forma tensorial

En teoría de la relatividad conviene escribir las leyes físicas en forma explícitamente tensorial. Eso implica que las magnitudes que se transforman vectorialmente como, por ejemplo, la velocidad o la densidad de corriente, deben ser representadas por cuadrivectores. La fuerza de Lorentz escrita en forma explícitamente tensorial es:

$f_{\alpha} = \sum_{\beta=0}^3 qF_{\alpha \beta} u^{\beta} \,$ (expresión tensorial relativista)

Donde:
$(f_\alpha), \quad (f_0, f_1, f_2, f_3) = (\vec{f}\cdot\vec{v}/c,f_x, f_y, f_z)$ son las componentes del cuadrivector fuerza.
$(u^\beta), \quad (u_0, u_1, u_2, u_3) = (c(1-v^2/c^2)^{1/2},v_x, v_y, v_z)$ son las componentes del cuadrivelocidad.
$(F_{\alpha \beta}) \,$ son las componentes del tensor de campo electromagnético cuyas componentes se relacionan con la parte eléctrica y magnética del campo así:

$\mathbf{F} = \begin{pmatrix} F_{00} & F_{01} & F_{02} & F_{03} \\ F_{01} & F_{11} & F_{12} & F_{13} \\ F_{02} & F_{21} & F_{22} & F_{23} \\ F_{03} & F_{31} & F_{32} & F_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\ -E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\ -E_z/c & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix}$

[editar] Fuerza de Lorentz y tercera ley de Newton

La fuerza magnética que se ejercen dos partículas en movimiento no satisface el principio de acción-reacción o tercera ley de Newton, es decir, la fuerza ejercida por la primera partícula sobre la segunda no es igual a la fuerza ejercida por la segunda partícula sobre la primera. Esto se puede comprobar por cálculo directo considerando dos cargas puntuales. La fuerza de la partícula 1 sobre la partícula 2 es:

$\vec{F}_{12}= q_2 \vec{v}_2\times \vec{B}_1 = \frac{\mu q_2q_1}{4\pi}\frac{\left(\vec{v}_2\times (\vec{v}_1\times(\vec{r}_2-\vec{r}_1)) \right)}{d^3}$

Donde los $\vec{r}_i$ son los vectores de posición respectivos, $\vec{v}_i$ las velocidades lineales respectivas, q_i las cargas respectivas, d la distancia entre las dos partículas y $\vec{B}_i$ los campos magnéticos. Análogamente la fuerza de de la partícula 2 sobre la 1 es:

$\vec{F}_{21}= q_1 \vec{v}_1\times \vec{B}_2= \frac{\mu q_2q_1}{4\pi}\frac{\left(\vec{v}_1\times (\vec{v}_2\times(\vec{r}_1-\vec{r}_2)) \right)}{d^3}$

Empleando la identidad $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$ puede verse que la primera fuerza está en el plano formado por $\vec{r}_1-\vec{r}_2$ y $\vec{v}_1$ que la segunda fuerza está en el plano formado por $\vec{r}_1-\vec{r}_2$ y $\vec{v}_2$ .