Ecuaciones de Navier-Stokes

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Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos.

Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la formulación diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.

Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones es preciso recurrir al análisis numérico para determinar una solución aproximada. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante métodos numéricos se la denomina dinámica de fluidos computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón Computational Fluid Dynamics).

Conceptos previos[editar]

Derivada sustancial o material[editar]

Debido a que generalmente adoptamos la descripción euleriana la derivada ordinaria {\partial\phi}/{\partial t} ya no representa toda la variación por unidad de tiempo de una determinada propiedad del fluido (o magnitud fluida) {\phi} siguiendo a la partícula fluida. Esto se debe al movimiento del fluido. Para reflejar esta variación usaremos la derivada sustancial (o derivada siguiendo a la partícula fluida). La derivada sustancial o derivada material se define como el operador:

\frac{D}{Dt}(\star ) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \frac{\partial(\star )}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla (\star )

Donde \mathbf{v} es la velocidad del fluido. El primer término representa la variación de la propiedad en un punto fijo del espacio y por ello se la denomina derivada local, mientras que el segundo representa la variación de la propiedad asociado al cambio de posición de la partícula fluida, y se la denomina derivada convectiva. Este es el procedimiento que sigue José de Echegaray para demostrar la derivada material. Véase una demostración de cómo llegar a una derivada material. Tomando las coordenadas de Euler como:

\mathbf{v}=v_x(x,y,z,t)\hat{\mathbf{i}}+v_y(x,y,z,t)\hat{\mathbf{j}}+v_z(x,y,z,t)\hat{\mathbf{k}}.

Calcularemos la aceleración para estas coordenadas:

\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{dv_x}{dt}\hat{\mathbf{i}}+\frac{dv_y}{dt}\hat{\mathbf{j}}+\frac{dv_z}{dt}\hat{\mathbf{k}}

Desarrollamos cada derivada total de cada componente, así podremos seguir un desarrollo fácil de recordar:

\frac{Dv_x}{Dt}i=\frac{\partial v_x}{\partial t}i+v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}i+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}i+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}i
\frac{Dv_y}{Dt}j=\frac{\partial v_y}{\partial t}j+v_x\frac{\partial v_y}{\partial x}j+v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}j+v_z\frac{\partial v_y}{\partial z}j
\frac{Dv_z}{Dt}k=\frac{\partial v_z}{\partial t}k+v_x\frac{\partial v_z}{\partial x}k+v_y\frac{\partial v_z}{\partial y}k+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}k

Si se suma término a término y se saca factor común, puede obtenerse:

\frac{D\bold{v}}{Dt}=\frac{\partial (v_xi+v_yj+v_zk)}{\partial t}+v_x\frac{\partial (v_xi+v_yj+v_zk)}{\partial x}+v_y\frac{\partial (v_xi+v_yj+v_zk)}{\partial y}+v_z\frac{\partial (v_xi+v_yj+v_zk)}{\partial z}
\frac{D\bold{v}}{Dt} = \frac{\part \bold{v}}{\part t} + 
[v_x\frac{\part}{\part x} + v_y\frac{\part}{\part y} + v_z\frac{\part}{\part z}]\bold{v} =
\frac{\part \bold{v}}{\partial t} + (\bold{v} \cdot\nabla) \bold{v}

Vemos que la parte de las derivadas parciales espaciales se pueden escribir como: \mathbf{v}\cdot\nabla

Si ahora sustituimos velocidad por (\star) obtenemos formalmente la expresión de la derivada material:

\frac{D}{Dt}(\star ) =
\frac{\partial(\star )}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla) (\star )

Teorema del transporte de Reynolds[editar]

Si la derivada sustancial permite calcular la variación de una magnitud fluida ligada a una partícula fluida, el teorema del transporte de Reynolds permitirá calcular la variación de una magnitud fluida extensiva ligada a un volumen fluido. Existe por tanto una analogía entre ambos conceptos, pues una partícula fluida no es más que un volumen fluido infinitesimal. En su forma general el teorema del transporte de Reynolds se expresa como:

\frac{d}{dt}\int_{V_f(t)}\phi \; d\Omega=\frac{d}{dt}\int_{V_c(t)}\phi \; d\Omega+\int_{S_c(t)}\phi\left(\mathbf{v-v_c}\right)\cdot\mathbf{n} \; d\sigma

donde \phi es la magnitud fluida extensiva definida por unidad de volumen (una magnitud extensiva por unidad de volumen es una magnitud intensiva), V_f es un volumen fluido, V_c es un volumen de control que coincide con V_f en el instante t, S_c la superficie de dicho volumen de control, \mathbf{v} la velocidad del fluido y \mathbf{v_c} la velocidad de la superficie de control.

El segundo término del miembro derecho representa el flujo convectivo de la magnitud fluida extensiva a través de la superficie de control que limita el volumen de control. Se define el flujo convectivo de una magnitud fluida extensiva a través de una superficie de control como la cantidad de dicha magnitud que, transportada por el fluido, atraviesa la superficie de control en la unidad de tiempo.

Expresado en términos coloquiales puede decirse que el teorema del transporte de Reynolds viene a decir que la variación de una propiedad extensiva en un volumen fluido, es igual a la variación de dicha propiedad en el interior de ese volumen más la cantidad de dicha propiedad que atraviesa la superficie del volumen.

Teorema de la divergencia[editar]

El teorema de la divergencia (o teorema de Gauss) permite, bajo ciertas hipótesis, transformar integrales de superficie en integrales de volumen ( y viceversa). En el caso particular de tres dimensiones podemos expresarlo como:

\iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\part V}\mathbf{F\cdot n}\; dS

Las ecuaciones de Navier-Stokes[editar]

Esta expresión representa el principio de conservación del momento lineal aplicada a un fluido general:

\rho\frac{Du_i}{Dt}=\rho F_i-\frac{\partial P}{\partial x_i}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left[
2\mu\left(e_{ij}-\Delta\delta_{ij}/3\right)\right].

La ley de conservación de la masa se escribe:

\frac{\partial\rho u_i}{\partial x_i}=0

En estas ecuaciones ρ representa la densidad, ui (i = 1,2,3) las componentes cartesianas de la velocidad, Fi las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo, como la gravedad, P la presión del fluido, y μ la viscosidad dinámica.

e_{ij}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)

donde Δ = eii es la divergencia del fluido y δij la delta de Kronecker. D / Dt es la derivada total o derivada material temporal siguiendo el fluido:

\frac{D}{Dt}(\cdot) \equiv \frac{\partial(\cdot)}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)(\cdot)

La no linealidad de las ecuaciones se debe precisamente al término relacionado con la derivada total. Cuando μ es uniforme sobre todo el fluido las ecuaciones de fluido se simplifican de la manera siguiente:

\rho\frac{Du_i}{Dt}=\rho F_i-\frac{\partial P}{\partial x_i} +\mu \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j}+ \frac{1}{3}\frac{\partial^{2}u_j}{\partial x_i\partial x_j}\right)

O en forma vectorial:

\rho\frac{D\bold{u}}{Dt}=
\rho \bold{F} - \boldsymbol{\nabla}P +\mu \left( \frac{1}{3} \boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \bold{u}) + \boldsymbol{\nabla}^{2}\bold{u} \right)

Casos particulares[editar]

Para fluidos de viscosidad nula, es decir cuando μ = 0, las ecuaciones resultantes se denominan ecuaciones de Euler que se utilizan en el estudio de fluidos compresibles y en ondas de choque:

 {\part\bold v\over\part t}+ (\bold v \cdot \boldsymbol\nabla)(\bold v)
+{1 \over \rho} \boldsymbol\nabla P = \bold{g}

Por otra parte si se considera un fluido viscoso pero incompresible, entonces la ρ puede ser considerada constante (como en un líquido) y las ecuaciones resultan ser:

\rho \left({\partial v_x \over \partial t}+ v_x {\partial v_x \over \partial x}+ v_y {\partial v_x \over \partial y}+ v_z {\partial v_x \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_x \over \partial x^2}+{\partial^2 v_x \over \partial y^2}+{\partial^2 v_x \over \partial z^2}\right]-{\partial P \over \partial x} +\rho g_x
\rho \left({\partial v_y \over \partial t}+ v_x {\partial v_y \over \partial x}+ v_y {\partial v_y \over \partial y}+ v_z {\partial v_y \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_y \over \partial x^2}+{\partial^2 v_y \over \partial y^2}+{\partial^2 v_y \over \partial z^2}\right]-{\partial P \over \partial y} +\rho g_y
\rho \left({\partial v_z \over \partial t}+ v_x {\partial v_z \over \partial x}+ v_y {\partial v_z \over \partial y}+ v_z {\partial v_z \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_z \over \partial x^2}+{\partial^2 v_z \over \partial y^2}+{\partial^2 v_z \over \partial z^2}\right]-{\partial P \over \partial z} +\rho g_z

y la ecuación de continuidad adquiere la forma siguiente:

{\partial v_x \over \partial x}+{\partial v_y \over \partial y}+{\partial v_z \over \partial z}=0

Otras consideraciones[editar]

Una importante cuestión abierta concerniente a estas ecuaciones es la determinación de si, partiendo de unas condiciones iniciales del movimiento de fluido suave y laminar, la solución de las ecuaciones para todo instante de tiempo implica también un flujo suave y laminar. Esta pregunta constituye uno de los Problemas del Milenio que el Instituto de Matemáticas Clay premia con un millón de dólares estadounidenses a quien pueda resolverlo. En enero de 2014, se anunció que Mujtarbay Otelbáyev, profesor universitario y director del Instituto Matemático de la Universidad Nacional Euroasiática de Almatý, habría encontrado una solución parcial.[1]

Notas[editar]

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]