Problemas del milenio

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Los problemas del milenio son siete problemas matemáticos cuya resolución sería premiada, según anunció el Clay Mathematics Institute en el año 2000, con la suma de un millón de dólares cada uno.[1] A fines de 2013, únicamente uno de estos problemas ha sido resuelto, la hipótesis de Poincaré.[2]

P versus NP[editar]

Consiste en decidir si la inclusión entre las clases de complejidad P y NP es estricta.

Las matemáticas actuales no poseen la suficiente capacidad para poder distinguir problemas de tipo P y NP, para los cuales es necesario desarrollar algoritmos bastante complejos. El problema en sí reside en que existen problemas que no pueden resolverse en tiempo polinomial en una máquina determinista, es decir, no son abarcables. La aritmética actual tiene límites a la hora de realizar algunos cálculos que ni los ordenadores más potentes pueden realizar en un tiempo "razonable", es decir, del orden de las n^2 ó n^3 operaciones. Sin embargo el carácter exponencial de algunos problemas hace que actualmente su tratamiento sea inviable.

Se piensa que estos problemas podrían estar relacionados con el teorema de incompletitud de Gödel. Según parece, ciertos enunciados matemáticos, entre los que se incluyen los que se refieren a cotas inferiores de tiempo de cifrado, no se pueden demostrar dentro del marco de la aritmética de Peano, que es la forma estándar de la aritmética.

Un ejemplo sería: si queremos determinar todas las formas posibles de asignar 70 personas a 70 trabajos diferentes de forma que todas las personas tengan un trabajo y ninguna plaza quede vacante, no sería difícil (para quien posea cierta base matemática) establecer la solución: 70! (setenta factorial). Sin embargo, el cálculo de este número sería equivalente a un número del orden de 10 elevado a la centésima potencia, lo que significa que ni en la edad del universo podría resolverse computacionalmente este problema.

Hoy en día el estudio de este problema se plantea como la resolución o búsqueda de los límites en la computación.

La conjetura de Hodge[editar]

La conjetura de Hodge dice que para variedad algebraicas proyectivas, los ciclos de Hodge son una combinación lineal racional de ciclos algebraicos.

La conjetura de Poincaré[editar]

Este es el único problema que ha sido resuelto. En topología, la esfera (o cascarón esférico) se caracteriza por ser la única superficie compacta simplemente conexa. La conjetura de Poincaré establece que esta afirmación es también válida para esferas tridimensionales.

En marzo de 2002, un matemático inglés, Martin Dunwoody, de la Universidad de Southampton, afirmaba haber resuelto este problema,[3] pero luego se encontró un error.[4]

El problema había sido resuelto en los casos de n > 3 por algunos matemáticos, Michael Freedman, Steven Smale, E. C. Zeeman, se mantenía inaccesible, curiosamente, para n = 3.

Finalmente, el matemático ruso Grigori Perelmán dio con la solución, anunciada en 2002 y dada a conocer en 2006. La resolución de la hipótesis de Poincaré hizo que a Grigori Perelmán le fuera concedida en el XXV Congreso Internacional de Matemáticos la Medalla Fields, considerada el mayor honor al que puede aspirar un matemático, premio el cual rechazó debido a que no quería convertirse en una "mascota" para el mundo de las matemáticas.[2]

La hipótesis de Riemann[editar]

La hipótesis de Riemann dice que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen una parte real de 1/2.

Existencia de Yang-Mills y del salto de masa[editar]

En Física, la teoría cuántica de Yang-Mills describe partículas con masa positiva que poseen ondas clásicas que viajan a la velocidad de la luz. Este es el salto de masa. El problema es establecer la existencia de la teoría de Yang-Mills y un salto de masa.

Las ecuaciones de Navier-Stokes[editar]

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los líquidos y gases. Si bien éstas fueron formuladas en el siglo XIX, todavía no se conocen todas sus implicaciones, principalmente debido a la no linealidad de las ecuaciones y los múltiples términos acoplados. El problema consiste en progresar hacia una teoría matemática mejor sobre la dinámica de fluidos. El enunciado del problema es demostrar si a partir de unas condiciones iniciales de fluido laminar la solución del flujo para todos los instantes de tiempo es también un flujo laminar.

El matemático kazajo Mujtarbay Otelbáyev afirma haber encontrado la solución al problema.[5]

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer[editar]

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer trata sobre un cierto tipo de ecuación que define curvas elípticas sobre los racionales. La conjetura dice que existe una forma sencilla de saber si esas ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones racionales.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Clay Mathematics Institute. «Millennium Problems» (en inglés). Consultado el 28 de diciembre de 2013.
  2. a b elpais.com (19 de marzo de 2010). «Perelman, el genio recluso de las matemáticas, premiado con un millón de dólares». Consultado el 28 de diciembre de 2013.
  3. Daily Telegraph (14 de abril de 2002). «British professor chases solution to $1m maths prize» (en inglés). Consultado el 28 de diciembre de 2013.
  4. George G. Szpiro, The secret life of numbers: 50 easy pieces on how mathematicians work and think. National Academies Press, 2006. ISBN 0-309-09658-8; p. 19
  5. elconfidencial.com (10 de enero de 2014). «Un matemático kazajo encuentra la solución parcial para la ecuación Navier-Stokes». Consultado el 14 de enero de 2014.

Enlaces externos[editar]