Axiomas de Peano

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Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un conjunto de axiomas aritméticos ideados por el matemático Giuseppe Peano en el siglo XIX, para definir los números naturales. Estos axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios en diversas investigaciones matemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud de la aritmética y la teoría de números.

Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:

  1. El 1 es un número natural.1 está en N, el conjunto de los números naturales.
  2. Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es usado para definir posteriormente la suma).
  3. El 1 no es el sucesor de algún número natural.
  4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
  5. Si el 1 pertenece a un conjunto K de números naturales, y dado un elemento cualquiera k, el sucesor k* también pertenece al conjunto K, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último axioma es el principio de inducción matemática.

Hay un debate sobre si considerar al 0 como número natural o no. Generalmente se decide en cada caso, dependiendo de si se necesita o no. Cuando se resuelve incluir al 0, entonces deben hacerse algunos ajustes menores:

  1. El 0 es un número natural.
  2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
  3. El 0 no es el sucesor de algún número natural.
  4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
  5. Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.

Presentación formal[editar]

Como se dijo antes existe un debate sobre si incluir al 0 entre los números naturales o no. A continuación se presentan los axiomas de Peano de manera formal, contemplando ambas posibilidades:

Cuando se excluye al 0[editar]

Los símbolos que designan los conceptos primitivos son ~N,1,x'.

El símbolo N designa un predicado monádico que se lee «ser un número natural». El símbolo 1, por su parte, designa una constante que pretende representar al número uno. Y el símbolo x', finalmente, designa una función sobre x que devuelve al sucesor de x. A esta función muchas veces se la escribe S(x). Finalmente, la metavariable \phi representa una fórmula cualquiera de la aritmética, y \phi(x) representa una fórmula cualquiera que tenga a x como variable libre.

Los cinco axiomas de Peano son:

A_1: N(1) \,
A_2: \forall x (N(x) \to N(x'))
A_3: \neg \exists x (N(x) \and 1=x')
A_4: \forall x \forall y ((N(x) \and N(y) \and x'=y') \to x=y)

Del quinto axioma existen dos variantes. El primero está formulado en lógica de primer orden, y es en realidad un esquema de axioma. El segundo sí es un axioma, pero está formulado en lógica de segundo orden.

A_5: \phi(1) \and \forall x \Big( (\phi (x) \to \phi(x')) \to \forall x \ \phi(x) \Big)
A_5': \forall \phi \bigg( \phi(1) \and \forall x \Big( (\phi (x) \to \phi(x')) \to \forall x \ \phi(x) \Big) \bigg)

Además de los cinco axiomas, la aritmética de Peano recurre a dos definiciones (de la suma y de la multiplicación), que a veces se presentan como axiomas. A continuación se incluyen todas las variantes:

  • Definiciones de suma y multiplicación:
D_1: \, n+1=n' \,
n+m'=(n+m)' \,
D_2: \, n \times 1 = n \,
n \times m' = (n \times m) + n \,
  • Axiomas de la suma y de la multiplicación:
A_6: \, \forall n (n+1=n')
\forall n \forall m (n+m'=(n+m)')
A_7: \, \forall n (n \times 1 = n) \,
\forall n \forall m (n \times m' = (n \times m) + n) \,

Cuando se incluye al 0[editar]

Los símbolos que designan los conceptos primitivos son ~N,0,x'.

Axiomas:

A_1: N(0) \,
A_2: \forall x (N(x) \to N(x'))
A_3: \neg \exists x (N(x) \and 0=x')
A_4: \forall x \forall y ((N(x) \and N(y) \and x'=y') \to x=y)
A_5: \phi(0) \and \forall x \Big( (\phi (x) \to \phi(x')) \to \forall x \ \phi(x) \Big)
A_5': \forall \phi \bigg( \phi(0) \and \forall x \Big( (\phi (x) \to \phi(x')) \to \forall x \ \phi(x) \Big) \bigg)

Cambiar los axiomas para que incluyan al 0 es sólo una cuestión de cambiar toda aparición del 1 por el 0. Sin embargo, en las definiciones (o los axiomas) de suma y de multiplicación hay que hacer algunos leves ajustes más:

  • Definiciones de suma y multiplicación:
D_1: \, n+0=n \,
n+m'=(n+m)' \,
D_2: \, n \times 0 = 0 \,
n \times m' = (n \times m) + n \,
  • Axiomas de la suma y de la multiplicación:
A_6: \, \forall n (n+0=n)
\forall n \forall m (n+m'=(n+m)')
A_7: \, \forall n (n \times 0 = 0) \,
\forall n \forall m (n \times m' = (n \times m) + n) \,

Modelos inintencionales[editar]

Un modelo es una interpretación de los símbolos primitivos que hace verdaderos a todos los axiomas. Por ejemplo, interpretando al símbolo 0 como el número cero, y al predicado N como los números naturales, el primer axioma resulta verdadero, porque es verdad que «el cero es un número natural». Lo mismo ocurre con todos los otros axiomas: bajo las interpretaciones naturales de 0, N y x', cada uno de los axiomas resulta verdadero. Luego, las interpretaciones naturales de los símbolos primitivos son un modelo de la aritmética de Peano.

Originalmente, Peano propuso los axiomas para caracterizar a los números naturales, y los símbolos primitivos se debían interpretar de esta manera natural. Sin embargo, los símbolos que designan a los conceptos primitivos admiten otras interpretaciones, algunas de las cuales serán además modelos. Por ejemplo, se podría interpretar al símbolo 0 como el número dos, a N como el predicado «ser un número par», y a x' como el sucesor del sucesor, en vez del sucesor inmediato. En tal caso, los axiomas se tendrían que entender así:

  1. El dos es un número par
  2. Si n es un número par, entonces el sucesor del sucesor de n también es un número par
  3. El dos no es el sucesor del sucesor de ningún número par.
  4. Si hay dos números pares n y m con el mismo sucesor de sucesor, entonces n y m son el mismo número par.
  5. Si el dos pertenece a un conjunto, y dado un número par cualquiera, el sucesor del sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números pares pertenecen a ese conjunto.

Bajo esta interpretación, todos los axiomas resultan verdaderos, y los axiomas ya no definen a los números naturales, sino a los números pares. También es posible encontrar modelos (es decir, interpretaciones que hagan verdaderos a todos los axiomas) por fuera de la matemática. Por ejemplo, se podría interpretar a 0 como el primer día de la creación, a N como el predicado «ser un día», y a x' como el día después de x. Bajo esta interpretación, los axiomas también resultan verdaderos.

A aquellos modelos que no fueron originalmente planeados se los llama modelos inintencionales (non-intended models), y existen infinitos modelos inintencionales de la aritmética de Peano. Estrictamente hablando, la aritmética de Peano no define el conjunto de los números naturales, sino a la noción más amplia de sucesión matemática o progresión aritmética de los naturales.

Bibliografía[editar]

  • Peano, Giuseppe (marzo de 1979). Julián Velarde Lombraña, ed. Los principios de la aritmética: expuestos según un nuevo método. Traducido por Julián Velarde Lombraña (1ª edición). Pentalfa Ediciones. ISBN 978-84-85422-02-9. 

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]