Ley de Poiseuille

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La ley de Poiseuille (también conocida como ley de Hagen-Poiseuille) después de los experimentos llevados a cabo en 1839 por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797-1884) es una ley que permite determinar el flujo laminar estacionario ΦV de un líquido incompresible y uniformemente viscoso (también denominado fluido newtoniano) a través de un tubo cilíndrico de sección circular constante. Esta ecuación fue derivada experimentalmente en 1838, formulada y publicada en 1840 y 1846 por Jean Louis Marie Poiseuille (1797-1869). La ley queda formulada del siguiente modo:

 \Phi _{V} = {dV\over dt} = v_{media}\pi r^{2} = {\pi r^{4}\over 8 \eta} \left( - { d P \over dz}\right) = {\pi r^{4}\over 8 \eta} { \Delta P \over L} \; ,

donde V es el volumen del líquido que circula en la unidad de tiempo t, vmedia la velocidad media del fluido a lo largo del eje z del sistema de coordenadas cilíndrico, r es el radio interno del tubo, ΔP es la caída de presión entre los dos extremos, η es la viscosidad dinámica y L la longitud característica a lo largo del eje z. La ley se puede derivar de la ecuación de Darcy-Weisbach, desarrollada en el campo de la hidráulica y que por lo demás es válida para todos los tipos de flujo. La ley de Hagen-Poiseuille se puede expresar también del siguiente modo:

 \lambda = {64\over {\it Re}} \; , \quad\quad Re = {2\rho v_{s} R\over \eta} \; ,

donde Re es el número de Reynolds y ρ es la densidad del fluido. En esta forma la ley aproxima el valor del factor de fricción, la energía disipada por la pérdida de carga, el factor de pérdida por fricción o el factor de fricción de Darcy λ en flujo laminar a muy bajas velocidades en un tubo cilíndrico. La derivación teórica de la fórmula original de Poiseuille fue realizada independientemente por Wiedman en 1856 y Neumann y E. Hagenbach en 1858 (1859, 1860). Hagenbach fue el primero que la denominó como ley de Poiseuille.

La ley es también muy importante en hemodinámica.

La ley de Poiseuille fue extendida en 1891 para flujo turbulento por L. R. Wilberforce, basándose en el trabajo de Hagenbach.

Cálculo de la fórmula[editar]

Poiseuille.png

Considérese una tubería horizontal de radio R constante y dentro de ella dos secciones transversales A y B separadas una distancia L. Estas secciones delimitan un trozo de tubería que en la imagen adjunta queda delimitada por los puntos ABCD. Dentro de la tubería indicada se considera a su vez un cilindro coaxial delimitado por los puntos abcd con área de tapas A = π r² y radio r. Debido a la viscosidad del fluido, sobre este cilindro actúa un esfuerzo cortante que se llamará T provocado por una fuerza cortante F sobre un área longitudinal AL = 2π r L. Esta fuerza será igual a F = p_1 A - p_2 A tendrá un sentido izquierda - derecha igual al desplazamiento del fluido, provocado por un gradiente de presión en la que p1 es mayor que p2 (no guiarse por el dibujo adjunto). Integrando las fuerzas que actúan sobre el cilindro considerado, se obtiene la expresión de la ley de Poiseuille.

De acuerdo a la segunda ley de Newton, si p1 y p2 son las presiones aplicadas en el centro de gravedad del área transversal del cilindro en las secciones 1 y 2 se tiene que:

p_1 A - p_2 A + F = 0

Donde F es la fuerza ejercida por fluido debido a la viscosidad del mismo con la sección de tubo de radio r.

En un sólido el esfuerzo de corte es proporcional a la deformación, pero un fluido se deforma continuamente mientras se aplique el esfuerzo, por lo tanto el esfuerzo de corte será proporcional a la velocidad de corte por una constante llamada viscosidad, es decir: {F\over A_L} = \eta {dv\over dr}

Sustituyendo el valor de la superficie AL por 2 π r L y despejando F nos queda F = 2\pi r L \eta {dv\over dr}

Se reemplaza:

p_1 \pi r^2 - p_2 \pi r^2 + 2 \pi r L \eta {dv \over dr} = 0

Simplificando queda:

\pi r^2 \Delta p = -2 \pi r L \eta {dv \over dr}

r \Delta p = -2 L \eta {dv \over dr}

Con lo que:

dv = -{\Delta p \over 2 L \eta} r dr

Integrando esta ecuación:

v = -{\Delta p \over 4 L \eta} r^2 + C

El valor de la constante C queda determinada por las condiciones en los límites. Es decir cuando r =R entonces v = 0. Por lo que:

C = {\Delta p \over 4 L \eta} R^2

Sustituyendo el valor de C en la ecuación inicial se tiene que:

v = {\Delta p \over 4 L \eta} \left(R^2 - r^2 \right)

Esta ecuación da la distribución de velocidades en una tubería. Como se puede observar, el término del radio elevado al cuadrado indica que se trata de un paraboloide, donde la velocidad máxima se obtiene en el eje del mismo y que coincide con el eje de la tubería. Zona en la que los efectos del rozamiento con las paredes de la tubería es mínima. La expresión de la velocidad máxima queda del siguiente modo:

v_{max} = {\Delta p \over 4 L \eta} R^2

En la práctica es más sencillo medir la velocidad media que la velocidad máxima. La expresión de la velocidad media es la siguiente:

v_{media} = {Q \over \pi R^2}

Para calcular el caudal en la tubería se va a considerar un anillo diferencial de espesor dr entre dos circunferencias concéntricas con el eje de la tubería y radios r y r + dr. En este caso la expresión del caudal queda:

dQ = 2 \pi r dr v

Sustituyendo la expresión de la velocidad calculada anteriormente se tiene que:

dQ = 2 \pi r dr {\Delta p \over 4 L \eta} \left(R^2 - r^2 \right)

Integrando la ecuación anterior entre los límites 0 y R se podrá calcular el caudal total:

Q = \int_{0}^{Q} \ dQ = \int_{0}^{R} 2 \pi r {\Delta p \over 4 L \eta} \left(R^2 - r^2 \right)\ dr =

= {\pi \Delta p \over 2 L \eta}\int_{0}^{R} \left(R^2 - r^2 \right) r\ dr = {\pi \Delta p \over 2 L \eta} \left({R^4 \over 2} - {R^4 \over 4} \right)

y finalmente se obtiene la expresión de la ley de Poiseuille para el caudal:

Q = {\Delta p \pi R^4 \over 8 L \eta}

si se sigue trabajando sobre esta fórmula y se sustituye esta expresión del caudal en la fórmula anterior de la velocidad media se obtiene lo siguiente:

v_{media} = {Q \over \pi R^2} = {\Delta p R^2 \over 8 L \eta} = {\Delta p D^2 \over 32 L \eta}

de donde se deduce que:

v_{media} = {v_{max} \over 2}

despejando la pérdida de presión en las anteriores ecuaciones se obtiene:

\Delta p = {32 \eta L v_{media} \over D^2}

que no deja de ser otra expresión de la ley de Poiseuille para la pérdida de presión en una tubería de sección constante con flujo laminar.

Si se divide y multiplica el segundo miembro de la ecuación anterior por la expresión 2 \rho v_{media} g se tiene que:

\Delta p = {32 \eta L v_{media} \over D^2} {2 \rho v_{media} g \over 2 \rho v_{media} g} = {64 \eta \over v_{media} D \rho} {L \over D} {v_{media}^2 \over 2 g} \rho g=

donde {\Delta p \over \rho g} = h_f es la pérdida de carga y Re = {v_{media} D \rho \over \eta} es la expresión del número de Reynolds, con lo que la pérdida de carga queda expresada del siguiente modo:

h_f = {64 \over Re} {L \over D} {v_{media}^2 \over 2 g}

comparando esta última expresión con la ecuación de Darcy-Weisbach se deduce el valor de \lambda:

\lambda = {64 \over {\it Re}}

siendo esta otra expresión de la ecuación de Hagen-Poiseuille.

Relación con los circuitos eléctricos[editar]

La electricidad fue originalmente entendida como una clase de fluido. Esta analogía hidráulica es todavía útil en el ámbito académico con fines didácticos.

La ley de Poiseuille se corresponde con la ley de Ohm para los circuitos eléctricos, donde la caída de presión Δp* es reemplazada por el voltaje V y el caudal ΦV por la corriente eléctrica I. De acuerdo con esto el término 8η Lr4 es un sustituto adecuado para la resistencia eléctrica R.

Relación con el pulmón[editar]

La ley de Poiseuille tiene aplicación en la ventilación pulmonar al describir el efecto que tiene el radio de las vías respiratorias sobre la resistencia del flujo de aire en dirección a los alveolos. De ese modo, si el radio de los bronquiolos se redujera por la mitad, la ley de Poiseuille predice que el caudal de aire que pasa por ese bronquiolo reducido tendría que oponerse a una resistencia 16 veces mayor, siendo que la resistencia al flujo es inversamente proporcional al radio elevado a la cuarta potencia.[1]

Este principio cobra importancia en el asma y otras enfermedades obstructivas del pulmón. Al reducirse el radio de las vías aéreas respiratorias, el esfuerzo de la persona se eleva a la cuarta potencia.

Referencias[editar]