Ley de Biot-Savart

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Ilustración de la ecuación de Biot-Savart.

La ley de Biot-Savart, que data de 1820 y es llamado así en honor de los físicos franceses Jean-Baptiste Biot y Félix Savart indica el campo magnético creado por corrientes eléctricas estacionarias. Es una de las leyes fundamentales de la magnetostática, tanto como la ley de Coulomb lo es en electrostática.

En el caso de las corrientes que circulan por circuitos filiformes (o cerrados), la contribución de un elemento infinitesimal de longitud d\vec l del circuito recorrido por una corriente I \, crea una contribución elemental de campo magnético, d\vec B, en el punto situado en la posición que apunta el vector \vec{r} a una distancia r respecto de d\vec l, quien apunta en la dirección de la corriente I:

 d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec l \times \hat{r}}{r^2}

donde \mu_0 es la permeabilidad magnética del vacío, y \hat{r} es un vector unitario con la dirección del vector \vec{r}, es decir, \hat{r}=\frac{\vec{r}}{r}.

En el caso de corrientes distribuidas en volúmenes, la contribución de cada elemento de volumen de la distribución, viene dada por:

 d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec J \times \vec R}{r^3} dv

donde  \vec{J} es la densidad de corriente en el elemento de volumen dv \, y  \vec{R} es la posición relativa del punto en el que se quiere calcular el campo, respecto del elemento de volumen en cuestión.

En ambos casos, el campo final resulta de aplicar el principio de superposición a través de la expresión:

 \vec B = \int d\vec{B}

En la que la integral se extiende a todo el recinto que contiene las fuentes del campo.

Ley de Biot-Savart generalizada[editar]

En una aproximación magnetostática, el campo magnético puede ser determinado si se conoce la densidad de corriente j:

\mathbf{B}= K_m\int{\frac{\mathbf{j} \times \mathbf{\hat r}}{r^2}dV}

siendo:

  •  \ dV es el elemento diferencial de volumen.
  • K_m = \frac{\mu_0}{4\pi} es la constante magnética.

Divergencia y rotacional del campo magnético a partir de la ley de Biot y Savart[editar]

La divergencia y rotacional de un campo magnético estacionario puede hallarse por simple aplicación de tales operadores a la ley de Biot y Savart

Divergencia[editar]

Aplicando el operador gradiente a la expresión, se tiene:

 \nabla \cdot \mathbf B = \frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \nabla\cdot\left(\mathbf J \times \frac{\mathbf{\hat r}}{r^2}\right)\ dV'

Dado que la divergencia se aplica en un punto de evaluación del campo independiente de la integración de  \mathbf J en todo el volumen, el operador no afecta a  \mathbf J . Aplicando la correspondiente identidad vectorial:

 \nabla \cdot\mathbf  B=-\frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \mathbf J \cdot \left[\nabla \times\nabla\left(\frac{1}{r}\right)\right]\ dV'

Dado que:

\nabla \times\nabla\left(\frac{1}{r}\right) = 0

se tiene:

 \nabla\cdot\mathbf B=0

Rotacional[editar]

Aplicando el operador rotacional tenemos:

 \nabla \times\mathbf B=\frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \nabla\times\left(\mathbf J \times \frac{\mathbf{\hat r}}{r^2}\right)dV'

Al igual que ocurría en la divergencia, el operador no afecta a  \mathbf J ya que sus coordenadas son las del dominio de integración y no las del punto de evaluación del rotacional. Aplicando la correspondiente identidad vectorial y conociendo que  \nabla\cdot\frac{\mathbf{\hat r}}{r^2}=4\pi\delta(r)

 \nabla \times\mathbf B=\frac {\mu_0}{4\pi}\int_V\mathbf J \cdot \left(\nabla\cdot \frac\mathbf{{\hat r}}{r^2}\right)dV' = \mu_0\int_V\mathbf J\ \delta (r)\ dV'

Realizando la integración se obtiene finalmente:

 \nabla \times\mathbf B=\mu_0\cdot\mathbf J

Nótese que el resultado anterior sólo es válido para campos magnéticos estacionarios. Si el campo magnético no fuese estacionario aparecería aparte el término debido a la corriente de desplazamiento.

Véase también[editar]