Ley de Biot-Savart

Ilustración de la ecuación de Biot-Savart.

La ley de Biot-Savart indica el campo magnético creado por corrientes eléctricas estacionarias.

En el caso de las corrientes que circulan por circuitos filiformes (o cerrados), la contribución de un elemento infinitesimal de longitud $d\vec l$ del circuito recorrido por una corriente $I \,$ crea una contribución elemental de campo magnético, $d\vec B$, en el punto situado en la posición que apunta el vector $\vec Ur$ a una distancia $r$ respecto de $d\vec l$, quien apunta en dirección a la corriente I:

$d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec l \times \hat{r}}{r^2}$

donde $\mu_0$ es la permeabilidad magnética del vacío, y $\hat{r}$ es un vector unitario.

En el caso de corrientes distribuidas en volúmenes, la contribución de cada elemento de volumen de la distribución, viene dada por:

$d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec J \times \vec R}{r^3} dv$

donde $\vec{J}$ es la densidad de corriente en el elemento de volumen

$dv \,$ y $\vec{R}$ es la posición relativa del punto en el que queremos calcular el campo, respecto del elemento de volumen en cuestión.

En ambos casos, el campo final resulta de aplicar el principio de superposición a través de la expresión:

$\vec B = \int d\vec{B}$

En la que la integral se extiende a todo el recinto que contiene las fuentes del campo.

La ley de Biot-Savart es fundamental en magnetostática tanto como la ley de Coulomb lo es en electrostática.

Ley de Biot-Savart generalizada

En una aproximación magnetostática, el campo magnético puede ser determinado si se conoce la densidad de corriente j:

$\mathbf{B}= K_m\int{\frac{\mathbf{j} \times \mathbf{\hat r}}{r^2}dV}$

donde:

$\ dV$ es el elemento diferencial de volumen.

$K_m = \frac{\mu_0}{4\pi}$ es la constante magnética.

Divergencia y rotacional de $\vec B$ a partir de la ley de Biot y Savart

La divergencia y rotacional de un campo magnético estacionario puede hallarse por simple aplicación de tales operadores a la ley de Biot y Savart

Divergencia

Aplicando el operador gradiente a la expresión, tenemos:

$\nabla \cdot \vec B=\frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \nabla\cdot(\vec J \times \frac{\hat r}{r^2})dV'$

Dado que la divergencia se aplica en un punto de evaluación del campo independiente de la integración de $\vec J$ en todo el volumen, el operador no afecta a $\vec J$. Aplicando la correspondiente identidad vectorial:

$\nabla \cdot \vec B=-\frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \vec J \cdot (\nabla \times (\nabla\cdot\frac{1}{r}))dV'$

Dado que:

$(\nabla \times (\nabla\cdot\frac{1}{r}))=0$

Tenemos:

$\nabla\cdot\vec B=0$

Rotacional

Aplicando el operador rotacional tenemos:

$\nabla \times \vec B=\frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \nabla\times(\vec J \times \frac{\hat r}{r^2})dV'$

Al igual que ocurría en la divergencia, el operador no afecta a $\vec J$ ya que sus coordenadas son las del dominio de integración y no las del punto de evaluación del rotacional. Aplicando la correspondiente identidad vectorial y conociendo que $\nabla\cdot\frac{\hat r}{r^2}=4\pi\cdot\delta (r)$

$\nabla \times \vec B=\frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \vec J \cdot(\nabla\cdot \frac{\hat r}{r^2})dV'=\mu_0\int_V \vec J\cdot\delta (r) \cdot dV'$

Realizando la integración obtenemos finalmente:

$\nabla \times \vec B=\mu_0\cdot\vec J$

Nótese que el resultado anterior sólo es válido para campos magnéticos estacionarios. Si el campo magnético no fuese estacionario aparecería aparte el término debido a la corriente de desplazamiento.

Véase también

• Jean-Baptiste Biot
• Félix Savart
• Magnetismo
• Vorticidad