Cuadrivelocidad

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La cuadrivelocidad es una magnitud vectorial asociada al movimiento de una partícula, usada en el contexto de la teoría de la relatividad, que es tangente a la trayectoria de dicha partícula a través del espacio-tiempo cuatridimiensional que generaliza el concepto de velocidad de la mecánica newtoniana.

Relación entre velocidad y cuadrivelocidad[editar]

Relatividad especial[editar]

De la misma manera que la velocidad \mathbf{v} en mecánica newtoniana es la derivada temporal de la posición respecto al tiempo, en la teoría de la relatividad la cuadrivelocidad \mathbf{V} es la derivada temporal de las coordenadas de posición respecto al tiempo propio de la partícula:

(1)V^i = \frac{dx^i}{d\tau}

Dada la relación entre el tiempo coordenado y el tiempo propio el cuadrivector velocidad viene dado por:

\mathbf{V} = (\gamma c; \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z) =  \left( \frac{c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} ; \frac{\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right) \in \R\times\R^3

Donde \mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z) es la velocidad newtoniana convencional y \gamma \, es el factor de Lorentz. Es importante notar que el "módulo" de dicha velocidad, es constante debido a que:

|\mathbf{V}| := \sqrt{-g(\mathbf{V},\mathbf{V})} = \sqrt{-\eta_{\alpha\beta}V^\alpha V^\beta} = \sqrt{- \gamma^2(-c^2 + v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)} = c\sqrt{\frac{1-\frac{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}{c^2}}{1-\frac{v^2}{c^2}}}= c

Relatividad general[editar]

En relatividad las cosas son bastante más complicadas, particularmente si el espacio-tiempo no es estacionario. Ya que la relación entre la velocidad coordenada y la velocidad física de una partícula es funcionalmente complicada. Si bien el "módulo" la cuadrivelocidad es igual a la constante c, la velocidad coordenada numéricamente puede superar a la velocidad de la luz (esto pasa porque la velocidad coordenada, por ejemplo, no es un tensor). La cuadrivelocidad o velocidad física puede definirse como la derivada respecto al tiempo propio:

V^\alpha = \frac{dx^\alpha}{d\tau}

dond el tiempo propio dependerá del camino L seguido por la partícula:

 \tau = \int_L
\left[\sqrt{-g_{00}}dt +\cfrac{g_{0\alpha}dx^\alpha}{c\sqrt{-g_{00}}}\right]

Si el el espacio tiempo es estacionario entonces existe un sistema de coordenadas donde el tensor métrico cumpla que g_{0\alpha} = 0 y donde g_{00} no dependa de la coordenada temporal, y en ese caso pude escogerse una foliación que define un tiempo universal. Y la integral anterior es más sencilla de evaluar.

En el caso general, la cuadrivelocidad se define como:

\mathbf{V} =\left(
\frac{c}{\sqrt{-g_{00}-\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}},
\frac{\mathbf{v}}{\sqrt{-g_{00}-\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}}    \right)

Donde \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle = \kappa_{ab}v^a v^b siendo v^a las componentes de la velocidad coordenada, a,b\in\{1,2,3\} y \kappa_{ab} = g_{ab} - (g_{0a}g_{0b}/g_{00}).

Relaciones con otras magnitudes[editar]

Análogamente a lo que sucede en mecánica newtoniana, donde la cantidad de movimiento y la velocidad son dos vectores proporcionales, en mecánica relativista sus análogos el cuadrimomento y la cuadrivelocidad son dos vectores que difieren sólo en una constante de proporcionalidad, que se identifica con la masa en reposo:

\mathbf{P} = m\mathbf{V} = \left(\frac{E}{c}; p_x, p_y, p_z \right) =  \left( \frac{mc}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} ; \frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)

Véase también[editar]