Ecuación diferencial de Bernoulli

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La ecuación diferencial de Bernouilli es una Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución y1-n = v [1] , que se caracteriza por adoptar la forma:

\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^\alpha

donde \!P(x) y \!Q(x) son funciones continuas en un intervalo abierto (a,b) \subseteq \mathbb{R} y α es un número real cualquiera [2]

Método de resolución[editar]

Caso general[editar]

Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:

(1)\frac{y'}{y^\alpha}+\frac{P(x)}{y^{(\alpha-1)}}=Q(x)

Definiendo:

Z(x):=\frac{1}{y^{(\alpha-1)}}

o ,equivalentemente, Z = y1-α

lleva inmediatamente a las igualdades:

Z'(x)= -\frac{\alpha-1}{y^\alpha}y' \qquad \Rightarrow \frac{y'(x)}{y^\alpha}=-\frac{1}{\alpha-1}Z'(x)

Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:

(2)\!Z'(x)+ (1-\alpha)\!P(x)\!Z(x)=(1-\alpha)\!Q(x)

Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:

Z(x) = {\frac { \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{
\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}{{e^{
\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}}}

Donde C \in \mathbb{R} es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:

{y^{(\alpha-1)}}={\frac {{e^{\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}}{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{
\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}} \qquad \Rightarrow y(x)={\sqrt [\alpha-1]{\frac {{e^{-(\alpha-1)\int \!P \left( x \right) {dx}}}}{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{
\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}}}

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:

(3)y(x)={\frac {{e^{-\int \!P \left( x \right) {dx}}}}{\sqrt [\alpha-1]{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right) {e^{
\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}{dx}+C}}}

Con C \in \mathbb{R}. Donde el factor integrante se define en, por ejemplo, 0 < x < ∞

Caso particular: α = 0[editar]

En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:

(4)\!y(x) = e^{-\int \!P(x)dx}\left({\int{ \!Q(x)e^{\int \!P(x)dx}dx}+\!C}\right)

Caso particular: α = 1[editar]

Tenemos una ecuación diferencial lineal (Ecuación de variables separables). En este caso la solución viene dada por:

(5)\ln\ \!y(x) = \int [Q(x)-P(x)]dx + C

Ejemplo[editar]

Para resolver la ecuación:

(*)\qquad xy'+y=x^4y^3

Se hace el cambio de variable z=y^{-2}\;, que introducido en (*) da simplemente:

(**)
y^2=\frac{1}{z} \Rightarrow 2yy'=-\frac{1}{z^2}z'

Multiplicando la ecuación anterior por el factor: \frac{2y}{x}; se llega a:

\qquad 2yy'+\frac{2}{x}y^2=2x^3y^4

Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:

-\frac{z'}{z^2} +\frac{2}{x} \frac{1}{z}= \frac{2x^3}{z^2} \quad \Rightarrow \quad
z'-\frac{2z}{x}=-2x^3

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:

e^{\int P(x)dx} = e^{\int -\frac{2}{x}dx} = e^{-2ln(x)} = \frac{1}{x^2}

Y se resuelve ahora la ecuación:

\left(\frac{z}{x^2}\right)' = -2x^3 \frac{1}{x^2} = -2x \qquad \frac{z}{x^2} = \int{-2x dx} = -2\int{x dx} = -2\frac{x^2}{2} + C_1= -x^2 + C_1

Deshaciendo ahora el cambio de variable:

\frac{z}{x^2} = -x^2 + C_1 \quad \Rightarrow \quad z=C_1x^2 -x^4

Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue z=y^{-2}\;:

\frac{1}{y(x)^2}=C_1x^2-x^4 \quad \Rightarrow \quad
y(x) = \frac{\pm 1}{\sqrt{C_1x^2-x^4}}

Notas[editar]

  1. "Historia de las matemáticas" (1987), Ríbnikov, K. , Librería Científica, Lima; p.257
  2. "Ecuaciones diferenciales" (1988) Zill, Dennis G., ISBN 968-7270-45-4, pg. 66

Bibliografía[editar]

  • Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7. 

Véase también[editar]