Ecuación de Poisson

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En matemática y física, la ecuación de Poisson es una ecuación en derivadas parciales con un amplio uso en electrostática, ingeniería mecánica y física teórica. Su nombre se lo debe al matemático, geómetra y físico francés Siméon-Denis Poisson.

La ecuación de Poisson se define como:

\Delta \varphi = f\,

donde \Delta\; es el operador laplaciano, y f y φ son funciones reales o complejas. En un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, toma la forma:


\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).

Si f = 0, la ecuación se convierte en la ecuación de Laplace

\Delta \varphi = 0. \!

Problema de Poisson[editar]

La ecuación de Poisson junto con las condiciones de contorno homogéneas, constituye uno de los tres problemas clásicos relacionados con el operador laplaciano que se detallan a continuación. Concretamente el problema de Poisson es el problema de encontrar una función definida sobre el dominio Ω que satisfaga:

(1)\begin{cases} 
  \Delta \varphi(\mathbf{x}) = -c_n\rho(\mathbf{x}) & \mathbf{x} \in \Omega \subset \R^n \\
  \varphi(\bar{\mathbf{x}}) = 0 & \bar{\mathbf{x}} \in \partial \Omega 
\end{cases}

Este tipo de problema puede ser resuelto de manera sencilla, mediante el método de la función de Green, para n > 2:

\varphi(\mathbf{x}) = \frac{-c_n}{4\pi} \int \frac{\rho(\bar{\mathbf{x}})d^n\bar\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}-\bar{\mathbf{x}}\|^{n-2}}

Problemas de potencial[editar]

La ecuación anterior aparece en problemas electrostáticos y de potencial gravitatorio. En esos problemas ρ representa la densidad de carga eléctrica o bien la densidad de masa. Además la constante cn debe ser tomada 1/ε0 para problemas electrostáticos (en SI), mientras que en problemas de potencial gravitatorio se toma como cn = 4πG.

Problema de Dirichlet[editar]

El problema de Dirichlet es un problema de encontrar una función armónica sobre un dominio tal que sea igual a otra función dada sobre el contorno del dominio:

(2)\begin{cases} 
  \Delta \varphi(\mathbf{x}) = 0 & \mathbf{x} \in \Omega \\
  \varphi(\bar\mathbf{x}) = f(\bar\mathbf{x}) & \bar\mathbf{x} \in \partial \Omega 
\end{cases}

En electrostática el problema de Dirichlet se corresponde con el problema de encontrar el campo dentro de una cavidad metálica "conectada a tierra" (potencial constante) de forma Ω dentro de la cual hay una distribución de carga dada por ρ.

Relación con el problema de Poisson[editar]

Existe un medio para reducir el problema de Dirichlet a un problema de Poisson. Si f(\bar\mathbf{x}) es una función de clase C1 sobre la frontera del dominio y \tilde{f}(\bar\mathbf{x}) es una extensión de f a todo el dominio Ω que sea de clase C2, es decir:

\tilde{f}(\bar{\mathbf{x}}) = f(\bar{\mathbf{x}}) \qquad \forall \bar{\mathbf{x}} \in \partial \Omega

Entonces la solución del problema de Dirichlet (2) viene dada por una función suma de la extensión anterior y otra función que es solución de un problema de Poisson como (1):

\varphi(\mathbf{x}) = \tilde{f}(\mathbf{x}) + \varphi_1(\mathbf{x})

\Delta \varphi_1(\mathbf{x}) = -c_n\tilde{\rho} \qquad
\tilde{\rho}:= \frac{\Delta \tilde{f}}{c_n} \qquad \varphi_1(\bar{\mathbf{x}})=0

Problema de Neumann[editar]

El problema de Neumann es similar al anterior pero en lugar de fijar el valor de la función incógnita sobre la frontera, fija el valor de la derivada perpendicularmente a la superficie.

(3)\begin{cases} 
  \Delta \varphi(\mathbf{x}) = 0 & \mathbf{x} \in \Omega \\
  \mathbf{n} \cdot \nabla\varphi(\bar\mathbf{x}) = \mathbf{h}(\bar\mathbf{x}) & \bar\mathbf{x} \in \partial \Omega \end{cases}

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • Richtmyer, Robert D. (1978): Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-08873-3.

Enlaces externos[editar]