Problema bien definido

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Un problema bien definido o bien propuesto (en el sentido de Hadamard) es un problema de Cauchy de valor inicial que tiene propiedades analíticas adecuadas y cuyas soluciones posibles tienen una estructura conveniente. en particular, esas condiciones suelen incluir:

  1. La existencia de alguna solución
  2. La unicidad de la solución
  3. La solución depende de manera continua de las condiciones iniciales (topología).

Definición[editar]

Más formalmente un problema del tipo planteado en el espacio de Banach \scriptstyle \mathcal{B}:

\begin{cases} \cfrac{d}{dt}u(t) = Au(t), &
\qquad u:\R\to\mathcal{B}\\
u(0) = u_0\in \mathcal{B} & \qquad A\in\mathcal{L}(\mathcal{B}) \end{cases}

está bien propuesto en el sentido de Hadarmad si tiene las tres propiedades siguientes:[1]

  1. Unicidad: las soluciones estrictas están determinadas unívocamente por las condiciones iniciales.
  2. Conjunto denso: el conjunto \scriptstyle \mathcal{U} de todas las condiciones iniciales correspondientes a las soluciones posibles es denso en el espacio de Banach en el que se plantea problema.
  3. Acotación local: Para algún intervalo finito \scriptstyle [0,t_0] existe una constante \scriptstyle K = K(t_0) tal que cada solución estricta satisface la desigualdad:

\|u(t)\| \le K\|u_0\|\ \mbox{para}\ 0\le t \le t_0

Referencias[editar]

  1. Ritchmyer, p. 336, 1978.

Bibliografía[editar]

  • Hadamard, Jacques (1902). Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique. pp. 49–52.  Parámetro desconocido |trabajo= ignorado (se sugiere |obra=) (ayuda)
  • Parker, Sybil B., ed. (1989) [1974]. McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms (4th edición). New York: McGraw-Hill. ISBN 0070452709. 
  • Robert D. Richmyer, Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, 1978.
  • Tikhonov, A. N.; Arsenin, V. Y. (1977). Winston, ed. Solutions of Ill-Posed Problems. New York. ISBN 0470991240.