Problema de Cauchy

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En ecuaciones diferenciales un problema de Cauchy (también llamado problema de valor inicial o PVI) consiste en resolver una ecuación diferencial sujeta a unas ciertas condiciones iniciales sobre la solución cuando una de las variables que la definen (usualmente, la variable temporal), toma un determinado valor (usualmente, t=0, para modelar las condiciones del sistema en el instante inicial).

Formulación del problema de Cauchy en EDOs[editar]

El problema de Cauchy, está referido al conjunto de datos iniciales que deben conocerse para determinar con unicidad la estructura de la solución de una ecuación diferencial ordinaria ó un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden que fueren.

Para ecuaciones diferenciales lineales el problema de Cauchy está resuelto dado que se puede garantizar la existencia y unicidad de la solución si las funciones que definen el problema son diferenciables con continuidad.

Formulación del problema de Cauchy como ecuación integral[editar]

Los problemas de Cauchy pueden formularse en términos de ecuaciones integrales equivalentes a las ecuaciones diferenciales. Esto puede tener ventajas suplementarias: las condiciones iniciales están automáticamente incorporadas a través de los límites de integración y para problemas lineales se maneja un operador integral acotado (de hecho, frecuentemente, un operador compacto), mientras que el operador diferencial del problema planteado en términos de ecuaciones diferenciales es en general no acotado. Esto último permite echar mano de varios resultados conocidos para operadores compactos para resolver un problema planteado en términos de ecuaciones integrales.